Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Контрольная работа по
дисциплине:
Теория вероятностей и
математическая статистика
Законы распределения
случайных величин. Доверительный интервал
Задача 1
Вероятность
появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти
вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более
80 раз.
Решение:
,
где - функция Лапласа, значения
которой находятся из таблиц.
;
.
Здесь: .
.
Ответ: 0,49.
Задача 2
Среднее число
вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того,
что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) не менее 3-х вызовов; в) менее 3-х
вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
а)
Вероятность события «за 4 минуты поступило 3 вызова равна:
,
где
- среднее число вызовов в
минуту; ;
t – время, за
которое может поступить 3 вызова; t=4 мин.;
k – число
возможных вызовов за время t; k=3.
.
- находим из таблицы значений
функции распределения Пуассона для k=3 и a==8.
в) События
«поступило менее 3-х вызовов» и «поступило не менее 3-х вызовов» являются
противоположными. Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
.
Здесь:
вероятности находятся из
таблиц распределения Пуассона соответственно для значений k=0, k=1, k=2 и для
a==8.
б) Данное
событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше),
поэтому: .
Ответ: а) 0,03; б) 0,99; в)
0,01.
Задание 3
Случайная
величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x).
Требуется: а) найти дифференциальную функцию f¢(x) (плотность
вероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить
графики функций f(x) и f¢(x).
Решение:
а) - плотность вероятности.
б)
Математическое ожидание:
.
Дисперсия
величины Х:
в) График
функции f(x):
; ; .
График
функции
; .
Задание 4
Найти
доверительный интервал для оценки математического ожидания Q нормального
распределения с надежностью ,
зная выборочную среднюю ,
объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s.
; ; n=225.
Решение:
.
Здесь: находится из таблицы
распределения Стьюдента для n=225 и .
.
;
.
Ответ: (73,12; 77,04).
