Вычислительные методы алгебры (лекции)

§9. Понятие корректно поставленной

и некорректно поставленной задач.

При приближенном решении математических или прикладных задач весьма существенным является вопрос о том, корректно ли решаемая задача.

Большинство некорректных задач записывается в виде уравнения первого порядка, где по заданному необязательному оператору  и по известной правой части  требуется найти .

 - метрические пространства, а в особо оговариваемых случаях – Банаховы или Гильбертовы.

Определение. Задача определения решения  при заданном  называется устойчивой на пространствах  и , если

         (1)

Решение устойчиво, если бесконечно малым вариациям правой части соответствуют бесконечно малые вариации х.

Определение. Следуя Жаку Адамару задача отыскания  уравнения (1) называется корректной (корректно поставленной), если при любой фиксированной правой части  решение задачи:

1.      существует в Х;

2.      единственно в Х;

3.      устойчиво в Х.

Если же хотя бы одно из условий 1-3 не выполняется, то задача некорректна.