Вычисление интеграла по поверхности
Содержание
1)Поверхностный
интеграл второго рода
2)Вычисление
интеграла по поверхности
3)Теорема
Остроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интеграл теорема доказательство
Интеграл
по поверхности
Поверхность
будем рассматривать
1.
как
образ замкнутой области при
непрерывном отображении
2.
Отображение
можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности
3.
Для
существует нормаль , перпендикулярный к касательным
кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:
,
поверхность
-
направление
касательных прямых к и в т. к поверхности
.
Направляющие
косинусы нормали к
поверхности
Задание
векторного поля характеризует задание вектор функции:
Примеры
векторных полей:
- поле скоростей текущей жидкости
или газа.
-
гравитационное поле
-
электростатистическое поле.
Если
в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с
некоторой скоростью , к
каждой точке можно
поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей
жидкости.
Поверхностный
интеграл второго рода.
Определение
интеграла по поверхности.
Вычисление.
Дано:
- область
ограниченная поверхностью
Дано:
-
поверхность
-векторное
поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .
Функции
- непрерывны в области с границей .
Т/н
: поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .
Решение.
1.
Поверхность
разобьем на произвольных частей.
2.
Выберем
по точке
3.
Вычислим
скорость течения жидкости в
точке
4.
Определим
, где -скалярное произведение
-единичная нормаль к поверхности
в точке
- вектор в точке .
5.
Составим
6.
Найдем
Механический
смысл интеграла по поверхности
-
объем
цилиндра с основанием и
высотой .
Если
-скорость
течения жидкости , то равно
количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали .
- общее количество жидкости или
газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного
поля через поверхность в направлении нормали .
Вычисление
интеграла по поверхности
Пусть
нормаль :
Заметим,
что
Действительно,
как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол
между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость
Следовательно
Вычисление
интеграла по поверхности.
1.
Аналогично
Пример
1.
Найти
поток вектора через часть
поверхности параболоида
в направлении внутренней
нормали.
-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой )
Аналогично
Пример
2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.
Пример
3. Найти поток вектора через
часть сферы в направлении
внешней нормали
Пример
4.
Пример
5.
Теорема
Остроградского-Гаусса.
Дивергенция.
-поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между
количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область .
1.
. Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько
втекает.
2.
жидкости или газа вытекает
больше, внутри существует
источник.
3.
жидкости или газа втекает
больше чем вытекает , внутри существует сток.
Чтобы
оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.
Если
-непрерывна вместе с
частными производными в области то:
Поток
изнутри равен суммарной
мощности источников и стоков в области
за
единицу времени.
Величина
потока вектора через замкнутую поверхность :
является глобальной характеристикой
векторного поля в области и
очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .
·
Поток
представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали
, а не абсолютное количество
жидкости прошедшей через независимо
от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику
распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция
(плотность потока в точке):
Дивергенция:
Определение:- стягивается
в точку.
Определение:
Дивергенцией векторного поля в
точке называется предел
отношения потока векторного поля через поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что
поверхность стягивается в
точке .
Дивергенция
характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока
находящегося в точке .
- средняя объемная мощность
потока .
-существует источник в точке .
- существует сток в точке
Теорема
2.
Доказательство:
ч.т.д.
Пример
1. . Найти поток вектора через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали.
Решение:
1.
2.
Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ
(специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов
Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализ
функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике для
втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.
Размещено
на