Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

Дипломна робота

"Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп"

Зміст

Перелік умовних позначок

Введення

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

2. - довжина - розв'язної групи

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

4. Використовувані результати

Висновок

Список використаних джерел

Перелік умовних позначок

Розглядаються тільки кінцеві групи. Використовуються наступні позначення.

 - прості числа.

 - знак включення множин;

 - знак строгого включення;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - порожня множина;

 - множина всіх  для яких виконується умова ;

 - число  порівнянне із числом  по модулі .

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

примарне число - будь-яке число виду , ;

 - множина всіх цілих позитивних чисел.

 - одинична група;

 - одинична матриця розмірності ;

 - повна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто група всіх не вироджених лінійних перетворень - мірного лінійного простору над полем з  елементів;

) - спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів.

) - проективна спеціальна лінійна група ступеня  над полем з  елементів, тобто факторгрупа спеціальної лінійної групи по її центрі

 - кінцеве поле порядку .

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - також одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

- група - група , для якої ;

- група - група , для якої ;

Група  називається:

примарною, якщо ;

бипримарною, якщо .

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп групи ;

 - підгрупа Фиттинга групи , тобто добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи ;

 - комутант групи , тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна підгрупа непарного порядку групи ;

 - найбільша нормальна - підгрупа групи ;

 - - холовська підгрупа групи ;

 - силовська - підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської - підгрупи в групі , тобто -холовська підгрупа групи ;

 - група всіх автоморфизмов групи ;

 - головний ранг групи ;

 - - головний ранг групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

Нехай  - максимальний ланцюг підгруп, тобто  для всіх . Якщо  розв'язно, то всі індекси максимального ланцюга примарні, тобто . Тоді:

.

При введенні позначень  і  розглядаються всі максимальні ланцюги.

 - - довжина групи ;

 - нильпотентна довжина групи ;

 - похідна довжина групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - неодинична власна підгрупа;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 -  є субнормальною підгрупою групи ;

 - підгрупа  характеристична в групі , тобто  для будь-якого автоморфізму ;

 - індекс підгрупи  в групі ;

;

 - ядро підгрупи  в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з  в ;

 - підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою  з  елементами  з , тобто ;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

 - симетрична група ступеня ;

 - знакозмінна група ступеня .

Якщо  й  - підгрупи групи , то:

 - прямий добуток підгруп  і ;

 - напівпрямий добуток нормальної підгрупи  й підгрупи ;

 -  і  ізоморфні.

Дужки  застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

 - підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу  називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо  й  нормальні в.

Ряд підгруп  називається:

субнормальним, якщо  для кожного ;

нормальним, якщо  для кожного ;

головним, якщо  для всіх .

Введення

Відомо, що кінцеві розв'язні групи можна охарактеризувати як кінцеві групи, у яких доповнені всі силовські підгрупи. Ця теорема Ф. Холу [12] з'явилася джерелом розвитку одного з напрямків теорії груп, що складає в дослідженні будови груп з виділеними системами підгруп, що доповнюються. Як відзначає у своїй монографії С.Н. Черников [10,с.11]: "Вивчення груп з досить широкою системою підгруп, що доповнюються, збагатило теорію груп багатьма важливими результатами". До теперішнього часу виділені й повністю вивчені багато нових класів груп. При цьому намітилася тенденція до узагальнень як самого поняття доповнюється по способу виділення системи підгруп, що доповнюються. Системи підгруп, що доповнюються, виділялися, наприклад, за допомогою таких понять як примарність, абелевість, циклічність, нормальність і інші властивості кінцевих груп і їхніх комбінацій, а замість доповнюваності розглядалися - доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне), - щільність (якщо для будь-яких двох підгруп  підгруп групи , з яких перша не максимальна в другий,  в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].

Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].

Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.

У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

Робота складається із трьох глав.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга.

Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи  називають підгрупою Фиттинга групи  й позначають через .

Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи  називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи  позначають через .

На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна

Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Також розглядається доказ теореми К. Дерка.

Теорема B. Якщо  - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Доведено теорему Монахова В.С.

Визначення. Підгрупа  групи  називається максимальною підгрупою, якщо  не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від .

Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи  позначається через .

Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

У другому розділі " - довжина - розв'язної групи" дані наступні визначення. Визначення. Нехай  - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на  й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу  будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група  розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона - розв'язна для всіх простих . Ясно, що група  -розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа  є або -групою, або -групою.

Визначення. Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи  й позначимо його , або, якщо необхідно, . -довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду

Доводиться

Теорема D. Якщо - -розв'язна група, де  - непарне просте число, то

(i)

(ii)  якщо  не є простим числом Ферма, і , якщо  - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема.

Визначення. Група  називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна  або , де  - - група, або , де  - -група.

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи  називають підгрупою Фиттинга групи  й позначають через . Множина простих дільників порядку групи  позначається через  а найбільшу нормальну -підгрупу групи  - через .

Лема 1.1. (1)  - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;

(2) ;

(3) .

Proof. (1) Нехай  і  - нильпотентние нормальні підгрупи групи  й нехай  і  - силовські -підгрупи з  і . Тому що , а , те  по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно,  - -група. Покажемо, що вона силовська в.  Для цього обчислимо її індекс:

Тому що чисельник не ділиться на , те  - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому  - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .

(2) Ясно, що  для всіх , тому

Обернено, якщо  - силовська -підгрупа групи , те  й  нормальна в , тому  й

(3) Якщо , те  й  нильпотентна, тому  по (1) і .

Лема 1.2. (1) ; якщо  розв'язно й , те ;

(2)  (3) якщо , те ; якщо, крім того,  абелева, те

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні  - нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай  - розв'язна неодинична група. Тоді  розв'язна й неодинична. Нехай

Тому що  - -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа  нильпотентна й . Отже, .

(2) Якщо , те  - нильпотентна нормальна в  підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому  й

Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи  або , або . Якщо , то

Якщо , то  - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку,  по теоремі 4.4, с. 35, тому .

Теорема 1.3.  для кожного . Зокрема, якщо  розв'язно, те

Proof. Нехай , . Тому що  по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що  для деякого  й нехай

Ясно, що  й  Нехай  - силовська -підгрупа групи . Тому що

-група, те, а оскільки , те  й . Тепер,  - нильпотентна нормальна підгрупа групи  й . Таким чином,  і перше твердження доведене. Якщо  розв'язно, то  розв'язно, тому  й .

Говорять, що підгрупа  групи  доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що  й . У цьому випадку підгрупу  називають доповненням до підгрупи  в групі

Теорема 1.4. Якщо  - нильпотентна нормальна підгрупа групи  й , те  дополняема в.

Proof. За умовою  а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні  а за умовою  Тому  й  абелева. Нехай  - додавання до  в.  По лемі 4.8, с. 35,  Оскільки  й  те  й по теоремі 4.7, с. 35,

Отже,  і  - доповнення до  в.

Теорема 1.5. Факторгрупа  є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що  й позначимо через  підгрупу Фиттинга  По теоремі 4.6 комутант  Але  значить  по теоремі 4.7, с. 35. Тому  й  абелева. Нехай  - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи  найбільшого порядку. Тоді  й по теоремі 1.4 існує підгрупа  така, що  По тотожності Дедекинда  Але  абелева, тому  а тому що , те  На вибір  перетинання  й

Нехай тепер  і  По лемі 1.2(2)  Тому що  те для  твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа  нормальна в.  Якщо

головний ряд групи , те

нормальний ряд групи . Тому що підгрупа  втримується в кожній підгрупі , те

для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа  нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай  - головний фактор групи . Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

 або

У першому випадку , тому

У другому випадку з нильпотентності підгрупи  по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову . Таким чином,  і .

Лема 1.8. .

Proof. Нехай . Ясно, що  й . Тому що

те  й  ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому

Нехай  - група й нехай

Ясно, що

У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне  таке, що .

Нильпотентною довжиною розв'язної групи  називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи  позначають через . Таким чином, якщо група  розв'язна й , те

Тому побудований ряд нормальний і його фактори  нильпотентни.

Ясно, що  тоді й тільки тоді, коли група  нильпотентна.

Приклад 1.9. .

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай  - розв'язна група. Тоді:

(1) ;

(2) .

Лема 1.11. (1) Якщо  - розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи  з нильпотентними факторами не менше, ніж .

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи . Нехай

нормальний ряд групи  з нильпотентними факторами. Тому що  - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те  й . Тут . Факторгрупа  має порядок менше, ніж порядок групи  й володіє поруч

де . Ясно, що це нормальний ряд, його довжина  і його фактори

нильпотентни. По індукції  й .

(2) треба з (1). Лема 1.12. Нехай  - розв'язна група. Тоді:

(1) якщо , те ;

(2) якщо , те ;

(3) якщо  й , те

зокрема, якщо  й  - розв'язні групи,те

(4) .

Proof. Нехай  і . Тоді

(1) Нехай . Тоді ряд

буде нормальним рядом підгрупи  з нильпотентними факторами

По лемі 1.11.

(2) Нехай  і . Тоді ряд

буде нормальним рядом групи  з нильпотентними факторами

По лемі 1.10.

(3) Ясно, що . Позначимо . Тоді  по лемі 1.10, а по індукції

Тому . Тому що  по (1), те маємо

(4) Покладемо . По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи  маємо  й

Тому .

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо  - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи . Нехай  - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то  й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи  втримуються в.  Якщо група  містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те  й по індукції

Оскільки

те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група  містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то  по лемі 1.12 і знову

Оскільки

те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що  й  по наслідку 1.6. По індукції

Якщо , то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що  - -група. Тоді  - -група. Нехай . Якщо , то  й , тому

і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли . Тому що  - -підгрупа, те

причому  - -група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення  в теоремі 1.13 мають місце. Значення  виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення  виконується на групі  з максимальною підгрупою . Значення  виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.

Якщо факторгрупа  нильпотентна, то групу  називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через  перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через  перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи  й  характеристичні в групі  й

(1) У факторгрупи  підгрупа Фиттинга

по лемі 1.2, тому

Припустимо, що  й нехай  - мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в.  Тому що підгрупа  нормальна в групі  й факторгрупа  нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа  нильпотентна й . Але тепер

протиріччя. Тому допущення невірно й , тобто .

(2) Нехай  - розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що   й

Тому підгрупа  метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі  центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі  немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.

2. - довжина - розв'язної групи

Нехай  - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на  й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу  будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група  розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група  - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа  є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.

зажадавши, щоб  була найбільшої нормальною -підгрупою в , а  - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи  й позначимо його , або, якщо необхідно, .

-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи  й, мабуть, характеристични в , і  містить всі нормальні підгрупи групи  з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що

для

Підгрупи й факторгрупи -розв'язної групи  також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи  й  обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток  і

Нехай  - -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго  групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі:

(i)  де  - порядок ,

(ii)  - клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,

(iii)  - довжина ряду комутантів ,

(iv)  де  - експонента , тобто найбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів  або  рівносильно тому, що  є -групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел , і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є  простим числом Ферма  чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо - -розв'язна група, де  - непарне просте число, те

(i)

(ii)  якщо  не є простим числом Ферма, і , якщо  - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують  c  і  з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що  й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи  індуцирує внутрішній автоморфізм групи  й, отже, групи . Але, як відоме,  є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм - з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай  - розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай  - елемент порядку  в.  Тоді мінімальне рівняння для  має вигляд .

Число  задовольняє наступній умові. Нехай  найменше ціле число (якщо воно існує), для якого  є ступенем простого числа  із властивістю . Якщо  не існує, то ; у противному випадку

Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи , для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність  може виконуватися тільки тоді, коли  або коли  - простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай  - якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент  групи  діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що  є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа