VII Соросовская олимпиада

9-I-1. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x;y) которых удовлетворяют уравнению x3 + y3 = x2y2 + xy.

9-I-2. Найдите a, b, c, d, при которых для всех x имеет место равенство ||x| - 1| = a|x| + b|x - 1| + c|x + 1| + d .

9-I-3. Представьте 102 в виде суммы наибольшего числа различных простых чисел.

9-I-4. Расстояние между городами A и B равно 30 км. Из A выехал автобус, который через каждые 5 км делает остановку продолжительностью 2 мин. Между остановками автобус движется со скоростью 80 км/ч. Одновременно с отправлением автобуса из A навстречу ему из B выезжает велосипедист, который едет со скоростью 27 км/ч. На каком расстоянии от A велосипедист встретится с автобусом?

9-I-5. При всех допустимых значениях a и b решите уравнение

x3 / (x - a)(x - b) + a3 / (a - b)(a - x) + b3 / (b - x)(b - a) = x2 + a + b.

9-I-6. Две вершины прямоугольника расположены на стороне BC треугольника ABC, а две другие на сторонах AB и AC. Известно, что середина высоты этого треугольника, проведенной к стороне BC, лежит на одной из диагоналей прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на BC, в три раза меньше BC. В каком отношении высота треугольника делит сторону BC?

9-I-7. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD при продолжении пересекаются в точке E. На диагоналях AC и BD взяты соответственно точки M и N так, что AM/AC = BN/BD = k. Найдите площадь треугольника EMN, если площадь четырехугольника ABCD равна S.

9-I-8. Дан треугольник ABC. На его сторонах BC, CA и AB взяты соответственно точки A1, B1 и C1 так, что 2Р B1A1C1 + Р BAC = 180° , 2Р A1C1B1 + Р ACB = 180° , 2Р C1B1A1 + Р CBA = 180° . Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников A1B1C1 (рассматриваются всевозможные такие треугольники).