Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные
операторы в различных системах координат.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения
Максвелла для электростатики имеют вид:
При
этом
В
вакууме ε = 1, так что
Потенциал
φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные
операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному
записываются в различных системах координат:
Для
цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть
соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых
электрические величины зависят только от r.
Задача.
Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить
распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При
нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.
Решение:
Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
Для
нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем
с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*)
= 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
В
условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
В
качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x.
Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:
Задача.
В некоторой области распределение потенциала является
цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние
от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ:
Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача.
Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы).
Найти ρ(r).
Решение
Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии,
электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это
зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
После
этого сразу записывается (у нас ε = 1):
Далее
используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
Задача.
В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0.
Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r)
такое поле соответствует.
Ответ:
ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r),
Задача.
Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля и для поля .
Ответ:
Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1.
И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448
с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.
Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:
Наука, 1992. - 661 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r