Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных  значений показателя  n  тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для  n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов:   x= a- b,    y=2ab,    z= a+ b.

Другие формулы:   x =  + b,  y =  + a,   z =  + a + b        (1).

В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное:   a=2c, b=d, откуда =2cd.

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d);   Y= 2c(c+d);   Z= 2c(c+d)+ d                                          (2),

где  c и d  любые целые положительные числа;  c,d  и их суммы  взаимно просты;

X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.

Предположим, что уравнение  Ферма  x+ y= z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

                                           (x)+ (y)= (z)                      (4).

Так как рассматривается  возможность существования целых решений  уравнений  Ферма  и (4) , то должно выполняться  следующее условие:

           x= X;   y= Y;   z= Z;      где   X,Y,Z  из (2)               (5).

Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n  (n – нечётное положительное целое число):

x == ();   y == ();   z =.

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа  и  ( n – нечётное ):

 = =   и  = = .

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:

d = g; 2 c = h, следовательно,    = ;  = .

Так как x, – целые,  x – по условию, а  – из-за нечётн. n, то g+ h= k, где  k – целое.

Тройка решений  g,h,k  удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа  x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k  меньше , так как =g,  а  <x,  так как  x=(). Число k заведомо меньше числа  z.

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений  g,h,k, начиная с (4): 

 (g)+ (h)= (k); g ==();  h ==();  k =.

 = =   и  = = .

d = p; 2 c = q, следовательно,   = ;   = .

p+ q= r, где  r – целое число. Все три числа  p,q,r  меньше числа   из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я  и т.д. до .

При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.     

       Для чётных n=2m не кратных 4: (x)+(y)=(z), m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…)  уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.

А. Ф. Горбатов