Сходимость рядов
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
По признаку
Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий
ряд Дирихле расходиться)
.
б)
Отсюда следует,
что при ряд сходится, т.е. при . При ряд
расходится.
Рассмотрим
случай
Для данного
ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд
При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.
Ответ:
9.3.2.
а)
. По признаку Даламбера ряд сходится, если .
Ряд будет сходится
при
Первый случай или
В промежутке ряд сходится.
Второй случай
В промежутке
1<x<l ряд сходится.
Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы
интервала.
При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида —
-1+1-1+1-1+…
Данный ряд
расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При получим ряд т.е.
ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.
б)
Ряд будет
сходиться при .
1)
в интервале ряд сходится.
2)
в интервале
3<x<8 ряд сходится.
Общий интервал
сходимости –2<x<8.
На концах
интервала х=-2, имеем ряд:
— расходящийся
гармонический ряд.
в п.9.3.1 б)
показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
Ряд сходится
при условии
1)
Решим
неравенство:
корней нет,
следовательно: — всегда.
Ветви параболы
направлены вверх, получаем два интервала: Здесь
ряд сходится.
Исследуем концы
интервалов:
1) . Получаем ряд: . Ряд
расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .
2)
б)
.
Ряд сходится
при .
1) интервал сходимости .
2) интервал сходимости .
Исследуем
границы интервала.
1)
По теореме
Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд —
расходится.
2) .
Сравним с рядом
по второму признаку сравнения
расходится, то
расходится и ряд .
3.9.4.
а)
Ряд сходится
при
1) тогда
корней нет, .
Решаем
неравенство:
.
Решаем
полученное неравенство:
В промежутке
(1,3) ряд сходится.
На концах
интервала имеем:
1)
Ряд расходится,
т.к. .
2)
б)
Ряд сходится
при условии или
Интервал
сходимости .
На концах
интервала.
1)
— ряд
расходится, т.к. расходится ряд .
2)
Ряд, как
предыдущий, но все члены отрицательны.
9.3.5.
а)
Ряд сходится
при условии .
1)
2)
Исследуем концы
интервала:
1)
2)
б)
Ряд сходится
при условии откуда
9.3.6.
а)
Ряд сходится
при
и корней нет,
следовательно, имеет условие
Интервал
сходимости .
Исследуем концы
интервалов:
1)
Ряд
знакочередующийся, проверим условие Лейбница
— выполняется
Ряд сходится
при
Получим такой
же ряд.
б)
Проверяем
признак Даламбера:
Условие
сходимости
На концах
интервала имеем:
1)
Ряд
знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится
условно при .
Получим такой
же ряд, но члены имеют обратные знаки.
.
9.3.7.
а)
Проверяем концы
интервалов
1)
Признак
Лейбница выполняется, ряд сходится.
При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).
б)
9.3.8.
а)
Условие
сходимости .
Найдем
дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие
принимает вид
Интервал
сходимости .
На концах
интервала
Получаем один и
тот же ряд
.
Члены этого
ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд
расходится.
б)
Условие
сходимости
На краях
интервалов:
1) . Получается ряд:
Ряд
знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.
2)
9.3.9.
а)
1. Если , т.е. и
необходимо решить неравенство: . Получается интервал .
2.
Интервал с
учетом .
На концах
интервала:
1)
Ряд сходится.
Аналогично при .
.
б)
Интервал
сходимости определяется неравенством
9.3.10.
а)
Найдем
дискриминант числителя
б)
1)
2)
1.
2.
