Справочник по геометрии (7-9 класс)
Выполнил:
ученик 9А класса
средней школы № 135
Матвеев Евгений.
Руководитель проекта:
Очеретина Т.В.
Казань 2004 г.
7 класс.
Глава I.
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две
точки Если две прямые имеют общую
можно провести
прямую, точку, то они пересекаются.
и притом только
одну.
Прямая а и точки А и В.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
Угол.
Угол – это
геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая
состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны
исходящих из этой
точки. лежат на одной прямой.
Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С
и сторонами p и q.
Развёрнутый угол =
180º; Неразвёрнутый угол < 180º
.
Луч, исходящий из
вершины угла и Два угла, у которых одна общая
делящий его на два
равных угла, сторона общая, а две другие
называется
биссектриса угла. являются продолжениями
одна
другой, называются смежными.
Два угла,
называются вертикальными,
если стороны
одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.
продолжениями
сторон другого.
Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы
равны. называются перпендикулярными,
если они образуют 4 прямых угла.
Глава I
I.
Треугольники.
Треугольник –
геометрическая фигура, РАВС =
АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из
3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой,
соединённых отрезками.
В
равных треугольниках против
Треугольник с
вершинами А, В, С и соответственно
равных сторон
Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против
соответственно равных равных
углов
лежат равные стороны.
Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа-
между ними
1-го треугольника щей на прямой, можно провести
соответственно
равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом
и углу между
ними другого только один.
треугольника,
то треугольники равны.
Отрезок,
соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой
противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка
роны, называется медианой треуг-ка. с точкой
противоположной
сторо- ны,
называется бисс-сой треуг-ка.
Перпендикуляр,
проведённый из верши-
ны треуг-ка к
прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,
противоположную
сторону, называ- называется равнобедренным.
ется высотой
треуг-ка.
Теорема: В равнобедренном треуг-ке
ВН - высота треуг-ка
АВС. углы
при основании равны.
Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке
бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является медианой
к основа-нию,
является и бисс-сой.
медианой и
высотой.
Медиана, проведённая к основанию, явля-
ется высотой и бисс-сой.
Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го
прилежащих к
ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём
треуг-ка
соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2
прилежащим к треуг-ки равны.
ней углам
другого треуг-ка, то
такие треуг-ки
равны.
Определение: Окружность называется геометр-ая фигура,
состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.
Глава I I
I.
Параллельные прямые.
Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря-
на плоскости
параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не
пересекаются. ны, то прямые параллельны.
Теорема: Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и
5, 4 и 6. мых
секущей соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и
5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.
Соответственные – 1 и
5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересече- Теорема: Если
две параллельные пря-
нии 2 прямых
секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест
односторонних
углов равна лежащие углы равны.
180º, то
прямые параллельны.
Теорема: Если две прямые пересечены
Теорема: Если две парал- секущей, то сумма односторонних
углов
лельные прямые
пересечены равна 180º.
секущей, то
соответствен-
ные углы равны.
Глава IV.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-
треуг-ка =
180º. уг-ка, не смежных с ним.
В любом
треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей сто-
все углы острые,
либо два роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а
третий угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.
В прямоугольном
треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше
катета. треуг-к – равнобедренный.
Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника
меньше суммы одной
прямой, справедливы неравенства:
2 других
сторон. АВ<AB+BC, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.
Сумма двух острых
углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий
моугольного
треуг-ка = 90º. против угла в 30º, равен
½ гипотенузы.
Если катет
прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг-
ка = ½
гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого
щий против этого
катета, = 30º. , то такие треуг-ки равны.
Если катет и
прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый
острый угол 1го
прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-
треуг-ка
соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро-
катету и
прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому
углу другого, то такие
треугольники
равны. Теорема: Если гипотенуза и катет 1го
прямоугольного треуг-ка соответствен-
Теорема: Все точки каж- но равны гипотенузе и катету
другого,
дой из 2
параллельных прямых то такие треугольники равны.
равноудалены от
другой прямой.
Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных
прямых до
другой прямой называется прямой называется расстоянием
между
этими прямыми.
8 класс.
Глава V.
Многоугольники.
Сумма углов
выпуклого n-угольника В параллелограмме
противоположные
= (n-2)180º.
стороны равны и противоположные
углы равны.
Диагонали
параллелограмма точ-
кой пересечения
делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и
параллельны, то этот 4-угольник – па-
раллелограм.
Если в 4-угольнике
противопо-
ложные стороны
попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе-
то этот 4-угольник
– параллело- каются и точкой пересечения делятся
грамм.
пополам, то этот 4-угольник – парал-
лелограмм.
Трапецией
называется 4-угольник,
у кот-го 2 стороны
параллельны, а Прямоугольником называется парал-
2 другие стороны
не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.
Диагонали
прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,
то этот параллелограмм – прямоуголь-
Ромбом называется
параллело- ник.
грамм, у кот-го
все стороны
равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны и делят его углы пополам.
Квадкатом
называется прямо-
угольник, у кот-го
все стороны Все углы квадрата равны.
равны.
Диагонали квадрата равны, взаимно
Фигура называется
симметричной перпендикулярны, точкой пересечения
относительно прямой
а, если для делятся пополам и делят углы
каждой точки
фигуры симметричная квадрата пополам.
ей точка
относительно прямой а
также принадлежит
этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.
Фигура называется
симметричной Точка О называется центром симмет-
относительно точки
О, если для рии фигуры.
каждой точки
фигуры симметрич-
ная ей точка
относительно точки О
также принадлежит
этой фигуре.
ГлаваVI.
Площадь.
Равные
многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.
Равные S.
Если многоугольник
составлен из Теорема: S
прямоугольника = про-
нескольких
многоугольников, то изведению его смежных сторон.
Его S
= сумме площадей этих
многоугольников.
Теорема: S
параллелограмма = про-
изведению его основания на высоту.
Теорема: S
треугольника =
= произведению
его основания S
прямоугольного треугольника = 1/2
на
высоту. произведения
его катетов.
Если высоты 2ух
3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника
равны, то их S
относятся равен углу другого 3-угольника, то S
как
основания. этих 3-угольников относятся
как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема: S трапеции
= про- углы.
изведению
полусуммы её осно-
ваний на
высоту. Теорема: В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны
3-угольника = сумме
квадратов 2
других сторон, то
3-угольник
прямоугольный.
Глава
VII.
Подобные треугольники.
Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб-
называются
подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы
соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го
3-угольника про-
порционально сходственны
Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам
другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема: Если 2 стороны 1го добны.
3-угольника
пропорциональны 2ум
сторонам
другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то
такие 3-угольники подобны.
Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель-
3-угольника
пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам
другого, то такие стороны.
3-угольники
подобны.
sin острого угла прямоугольного cos
острого угла прямоугольного 3-уголь-
3-угольника –
отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего
катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tg угла = отношению sin
к cos
tg острого угла прямоугольного этого
угла: tg = sin/ cos.
3-угольника –
отношение противо-
лежащего катета к
прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол
1го прямоугольного sin2α+ cos2α=1.
3-угольника =
острому углу другого прямо-
угольного
3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
x
|
0°
|
30°
|
45°
|
60°
|
90°
|
180°
|
270°
|
360°
|
sinx
|
0
|
1/2
|
2/2
|
3/2
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
cosx
|
1
|
3/2
|
2/2
|
1/2
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
tgx
|
0
|
1/ 3
|
1
|
3
|
—
|
0
|
—
|
0
|
ctgx
|
—
|
3
|
1
|
1/ 3
|
0
|
—
|
0
|
—
|
|
0
|
П/6
|
П/4
|
П/3
|
П/2
|
П
|
3П/2
|
2П
|