Сопряжённые числа
Сопряжённые
числа
Н. Вагутен
В этой работе
мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида a + b√d
полезно заменить сопряжённым a – b√d. Мы увидим,
как этот простой приём — замена знака перед радикалом — помогает в решении
разнообразных задач алгебры и анализа — от нехитрых оценок и преобразований до
трудных олимпиадных задач и замысловатых придумок составителей конкурсных
экзаменов.
Большинство
наших примеров может служить первым знакомством с глубокими математическими
теориями (кое-где мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства).
Среди задач, включённых в статью, две — из Задачника «Кванта» и несколько — из
писем читателей, уже испытавших удовольствие от трюков с радикалами и желающих
поделиться им с другими.
Пары
сопряжённых чисел появляются вполне естественным образом, когда мы решаем
квадратное уравнение, а корень из дискриминанта не извлекается: скажем,
уравнение λ2 – λ – 1 = 0 имеет пару «сопряжённых» корней:
