Собственные значения.
Собственные значения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Целый ряд инженерных задач сводится к
рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае,
если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый
параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С
задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях.
Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные
напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими
значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения
соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют
моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют
определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере
устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода
определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной
задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых
собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные
значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены
для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы
преобразований подобия несколько сложней,
зато позволяют определить все собственные значения и собственные
векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные
методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые
основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых
базируются методы определения собственных значений.
2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ,
НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В общем виде задача на собственные
значения формулируется следующим образом:
AX = lX,
где A — матрица размерности n х n. Требуется
найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие
каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления
1. Матрица A называется симметричной, если
аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно
диагонали
аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица