Систематичний відбір

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет ім. О. Гончара

Дипломна бакалаврська робота

Систематичний відбір

Виконавець:

студентка групи

МС-06-1 Бабічева Д.С.

Дніпропетровськ 2010

РЕФЕРАТ

Випускна бакалаврська робота: 67 сторінок, 5 джерел, 9 таблиць, 15 рисунків.

Перелік ключових слів: популяція, вибірка, відбір, дисперсія, середнє, точність, тренд, одиниці, оцінка.

Обє’кт дослідження: систематичні вибірки

Мета роботи: в роботі ставиться задача порівняння точності систематичного відбору, простого випадкового відбору та стратифікованого відбору на прикладі вибіркового обстеження домогосподарств гіпотетичного міста StatVillage.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. СИСТЕМАТИЧНИЙ ВІДБІР

1.1 Оцінювання середнього та сумарного значення популяції

1.2 Порівняння систематичного відбору зі стратифікованим випадковим відбором

1.3 Популяції з «випадковим» порядком розміщення одиниць

1.4 Популяції з лінійним трендом

1.5 Популяції з періодичною варіацією

1.6 Автокорельовані популяції

1.7 Реальні популяції

1.8 Оцінювання дисперсії за окремою вибіркою

1.9 Стратифікований систематичний відбір

1.10 Двовимірний систематичний відбір

1.11 Приклади розв’язування задач

РОЗДІЛ ІІ. ПОРІВНЯННЯ СИСТЕМАТИЧНОГО ВІДБОРУ, ПРОСТОГО ВИПАДКОВОГО ВІДБОРУ ТА СТРАТИФІКРВАНОГО ВІДБОРІВ

2.1 Місто StatVillage

2.2 Порівняння відборів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Вибіркове обстеження з систематичним відбором являє собою комплекс процедур, які мають деякі практичні переваги за інших методів, зокрема у відносній простоті застосування. Іноді систематичний відбір розглядають як деяке наближення простого випадкового відбору, коли не існує повного переліку або списку всієї популяції, або коли цей список не є впорядкованим за якоюсь ознакою, тобто коли елементи записано в довільному випадковому порядку. Розглянемо загальну процедуру побудови систематичної вибірки при проведенні випадкового обстеження. Нехай маємо скінчену популяцію, одиниці якої перенумеровані від 1 до . Для отримання вибірки обсягу  спочатку навмання вибираємо будь-яку одиницю з перших  одиниць популяції (це можна зробити, використовуючи датчик випадкових чисел або таблицю випадкових чисел). Після вибору першої одиниці вибираємо кожну -ту одиницю популяції. Таку вибірку будемо називати систематичною вибіркою кожної -ї одиниці. Наприклад, якщо =15 і першу одиницю виберемо 13, тоді наступні одиниці будуть мати номери 28, 43, 58, 73... Отже, перша вибрана одиниця повністю визначає вибірку. У систематичного відбору є деякі очевидні переваги в порівнянні з простим випадковим відбором.

1.                 Вибірку легше добувати і частіше легше дотримуватись правил відбору. Це особливо важливо, коли відбір відбувається безпосередньо протягом обстеження. Іноді можна значно зекономити час, навіть коли вибірка добувається до початку обстеження. Наприклад, коли данні про всі одиниці занесені на картки однакового розміру, що знаходяться у ящиках стандартної картотеки. Тоді можна добувати картки з ящика через кожний сантиметр, відміряючи відстань лінійкою. Цю операцію, на відміну від простого випадкового відбору, можна виконати дуже швидко. Звичайно, такий метод трохи відрізняється від відбору строго кожної -тої картки.

2.                 Інтуїтивно систематичний відбір здається більш точним, ніж простий випадковий відбір. По суті, при відборі відбувається стратифікування популяції на n страт, що складаються з перших  одиниць, з других  одиниць і т.д. Отже, ми могли б очікувати, що систематична вибірка має приблизну ту саму точність, що і відповідна стратифікована вибірка з однією одиницею в кожній страті. Відмінність між ними полягає в тому, що при систематичному відборі одиниця в кожній страті стоїть на одному і тому самому місці відносно інших одиниць, у той час як, при стратифікованому випадковому відборі її місце в страті визначається навмання окремо для кожної страти (див. рис.1). Систематична вибірка розподілена в популяції більш рівномірно і саме це робить іноді систематичний відбір більш точним, ніж стратифікований випадковий відбір.

Рис.1. Систематичний відбір та стратифіксований випадковий відбір:  - систематична вибірка, - стратифікована вибірка

В одному з варіантів систематичного відбору кожна одиниця відбирається в центрі страти або біля нього, тобто замість того, щоб починати послідовність номерів деяким випадковим чином від 1 до , ми приймаємо номер першої одиниці рівним , якщо  – непарне, та  або , якщо  – парне число. Такий прийом доводить ідею систематичного відбору до її логічного завершення. У тому випадку, коли  можна розглядати як значення неперервної функції від неперервного аргумента , є підстави очікувати, що вибірка, яка розташована центрально, буде більш точною, ніж випадково розташована. Проте ефективність центрально розташованих вибірок для типів популяцій, що зазвичай зустрічаються при вибіркових обстеженнях, вивчена недостатньо, тому обмежимося випадково розташованими вибірками.

Оскільки, взагалі кажучи,  не є цілим кратним числа , обсяги різних систематичних вибірок з однієї і тієї ж популяції можуть на одиницю відрізнятись один від одного. Так, наприклад, для  = 23,  = 5 в таблиці 1 вказані номери одиниць для п’яти систематичних вибірок. Перші три вибірки мають обсяг  = 5, а дві останні – обсяг  = 4. Ці обставини вносять деякі ускладнення в теорію систематичного відбору. Якщо обсяг  перевищує 50, то цим ускладненням можна знехтувати. Навіть при малих обсягах  зміни будуть незначні. Але якщо за оцінку середнього значення популяції вибрати середнє арифметичне такої систематичної вибірки, то ця оцінка буде зміщеною.

Таблиця 1 Можливі систематичні вибірки при  = 23,  = 5

Для того, щоб уникнути цього, можна скористатися таким методом. Вибираємо  як найбільше ціле, що лежить поряд . Далі навмання вибираємо будь-яку одиницю від 1 до , потім беремо кожну -у одиницю, рухаючись по колу, поки не виберемо  одиниць. Наприклад,  = 21,  = 5, тоді  = 4. Нехай вибрано одиницю з номером 13. Тоді систематична вибірка 4-го порядку буде містити одиниці з номерами: 13, 17, 21, 4, 8. Якщо першу одиницю вибрано з номером 19, то вибірка містить одиниці з номерами: 19, 2, 6, 10, 14.

В роботі ставиться задача порівняння точності систематичного відбору, простого випадкового відбору та стратифікованого відбору на прикладі вибіркового обстеження домогосподарств гіпотетичного міста StatVillage.

РОЗДІЛ І. СИСТЕМАТИЧНИЙ ВІДБІР

1.1 Оцінювання середнього та сумарного значення популяції

Введемо поняття кластеру. Кластер – це група одиниць популяції, яка розглядається як вихідна одиниця вибірки. Нехай . Популяцію можна розбити на  кластерів, у кожному з яких знаходиться n одиниць. Тоді процедура випадкового відбору систематичної вибірки го порядку така ж сама, як і процедура вибору одного із  кластерів (див. табл. 1.1.1).

Таблиця 1.1.1 Можливі систематичні вибірки го порядку

Нехай випадкова величина  – середнє значення систематичної вибірки, тобто  з імовірністю  дорівнює значенню , .

Розподіл  має вигляд

~.

Теорема 1.1.1. Середнє значення  систематичної вибірки є незміщеною оцінкою для середнього значення популяції .

Доведення.

,

де -ий член -тої систематичної вибірки, , ,

зокрема, дисперсія  дорівнює

.

Теорема доведена.

Теорема 1.1.2. Дисперсія середнього значення систематичної вибірки визначається формулою

 (1.1.1)

Де

є дисперсією одиниць, які належать одній систематичній вибірці (wsy − від англ. within − всередині та systematic − систематичний).

Доведення.

Дисперсія популяції з одиниць визначається формулою

.

Розглянемо тотожність

.

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

.

Підсумуємо праву та ліву частини рівності за  та :

Покажемо, що :

Отже, маємо

,

.

Дисперсія  дорівнює

(обчислена за таблицею розподілу ). Тоді

.

Звідси

,

або, що теж саме,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Середнє значення для систематичної вибірки більш точне, ніж середнє для простої випадкової вибірки, тобто

тоді і тільки тоді, коли

. (1.1.2)

Доведення.

Дисперсія середнього значення простої випадкової вибірки дорівнює

.

Тоді з (1.1.1) випливає, що  тоді і тільки тоді, коли

.

Звідси маємо

.

Домножимо обидві частини нерівності на  та праворуч винесемо :

.

Враховуючи, що маємо

,

або,

.

Отже , .

Наслідок доведено.

Таким чином, систематичний відбір точніший, ніж простий випадковий відбір, якщо дисперсія  одиниць систематичних вибірок більша дисперсії  всієї популяції. Систематичний відбір точний, коли одиниці всередині однієї й тієї ж вибірки неоднорідні, та неточний, коли вони однорідні. До цього можна прийти інтуїтивно. Якщо всередині систематичної вибірки варіація у порівнянні з варіацією популяції невелика, то послідовно вибрані одиниці вибірки несуть більш або менш однакову інформацію. Інший вираз для дисперсії наведемо у теоремі 1.1.3.

Теорема 1.1.3.

, (1.1.3)

де - коефіцієнт кореляції між парами одиниць, що належать до однієї й тієї самої систематичної вибірки. Цей коефіцієнт визначається за формулою

,

де чисельник є середнім по всім  різним парам, а знаменник – середнє по всім  значенням . Розпишемо чисельник і знаменник:

Підставивши отримані вирази у  отримаємо:

.

Доведення.

Дисперсія середнього значення  систематичної вибірки дорівнює

.

Звідси маємо

.

Отже,

.

Ділимо обидві частини на  і отримуємо вираз для

.

Останній результат показує, що додатна кореляція між одиницями в одній і тій самій вибірці збільшує дисперсію вибіркового середнього. Навіть мала додатна кореляція може мати великий ефект за рахунок множника .

Теорема доведена.

Дві попередні теореми виражали  через дисперсію популяції , тобто співвідносили дисперсію  з дисперсією для простої випадкової вибірки

.

Існує аналог теореми 1.1.3, в якому  виражена через дисперсію стратифікованої випадкової вибірки, де страти складалися з перших  одиниць, других  одиниць і т.п. При позначеннях індекс  при  відповідає номеру страти. Середнє для страти будемо записувати так .

Теорема 1.1.4.

, (1.1.4)

 – дисперсія одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти. В знаменнику стоїть , тому що кожна з  страт вносить  ступінь вільності. Величина

.

є коефіцієнтом кореляції між відхиленнями від середнього значення для страти по всім парам одиниць, що належать до однієї й тієї ж систематичної вибірки.

. (1.1.5)

Доведення.

Доведення цієї теореми аналогічно доведенню теореми 1.1.3.

Дисперсія середнього значення  систематичної вибірки дорівнює

Розпишемо середнє значення популяції  через середнє стратифікованої вибірки :

{- це -та одиниця -ї страти}

.

Отже маємо

.

Отже,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо , то систематична вибірка має ту саму точність, що й відповідна стратифікована випадкова вибірка з однією одиницею у кожній страті.

Це твердження випливає з того, що для такої стратифікованої випадкової вибірки  дорівнює:

.

Теорема 1.1.5. Дисперсія величини , яка використовується для оцінювання сумарного значення популяції , дорівнює

.

Приклад. У таблиці 1.1.2 наведені данні для невеликої штучної популяції, яка показує тенденцію до досить стійкого зростання значень ознаки у послідовності одиниць. Маємо , , . Кожний стовпчик відповідає деякій систематичній вибірці, а рядки є стратами. Приклад ілюструє ситуацію, коли кореляція «всередині страт» додатна. Наприклад, у першій вибірці кожне з чотирьох чисел (0, 6, 18, 26) менше середнього значення у страті, до якого воно належить. Це справедливо, з невеликим винятком, для перших п’яти систематичних вибірок. В останніх п’яти вибірках відхилення від середніх значень для страт в основному додатне. Таким чином, члени суми у виразі для  переважно додатні. Відповідно до теореми 1.1.4 можна очікувати, що систематичний відбір буде менш точним, ніж стратифікований випадковий відбір з однією одиницею у кожній страті.

Таблиця 1.1.2 Данні по 10 систематичним вибіркам при обсязі вибірок та обсязі популяції

Середнє значення систематичної вибірки має розподіл

 ~

Дисперсія систематичної вибірки дорівнює

Знайдемо середнє та дисперсію для всієї популяції:

Тепер знайдемо дисперсію одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти:

,

де - число страт, - обсяг стратифікованої вибірки.

Тоді дисперсія оцінки середнього для простої випадкової вибірки має вид:

,

де - обсяг простої випадкової вибірки.

Дисперсія оцінки середнього для стратифікованої випадкової вибірки

,

де  - число страт.

Стратифікований випадковий відбір та систематичний відбір виявились набагато ефективнішими, ніж простий випадковий відбір, причому, як і очікувалось, систематичний відбір менш точний, ніж стратифікований випадковий відбір.

1.2 Порівняння систематичного відбору зі стратифікованим випадковим відбором

Ефективність систематичного відбору в порівнянні зі стратифікованим або простим випадковим відбором суттєво залежить від особливостей популяції. Існують такі популяції, в яких систематичний відбір дає високу точність, але є й такі, для яких простий випадковий відбір є більш точним ніж систематичний. Для деяких популяцій та деяких значень  дисперсія  середнього систематичної вибірки, веде себе досить погано − вона може навіть зростати при збільшені обсягу вибірки . Тому важко вказати загальні умови, за яких рекомендовано застосовувати систематичний відбір. В будь-якому випадку для того, щоб його застосування було ефективним, необхідно знати будову популяції, з якої проводиться відбір.

При дослідженні цієї проблеми існує два напрямки. При одному з них порівнюються різні типи відбору зі штучних сукупностей, для яких  є деякою простою функцією . При іншому − проводиться аналогічне порівняння для реальних популяцій.

1.3 Популяції з «випадковим» порядком розміщення одиниць

Систематичний відбір, оскільки він зручний, застосовується іноді до популяцій, в яких одиниці дійсно розташовані навмання. Наприклад, так буває при відборі з картотеки, що складена в алфавітному порядку за прізвищами, якщо змінюється ознака, яка ніяк не пов’язана з прізвищем того, кого обстежують. В цьому випадку не буде ніякої тенденції чи стратифікування по  в розташуванні карток, ні кореляції між сусідніми одиницями.

У такій ситуації ми могли б очікувати, що систематичний відбір буде, по суті, рівносильний простому випадковому відбору та буде мати ту саму дисперсію. Для конкретної скінченої популяції при заданих значеннях  і  це не завжди вірно, тому що , яка має  ступенів вільності, при малих  досить нестійка і може виявитись як більше так і менше, ніж . Але існують дві теореми, які показують, що в середньому ці дисперсії рівні.

Теорема 1.3.1. Розглянемо всі  скінчених популяцій, що утворюються за допомогою  перестановок деякого набору чисел . Тоді в середньому по всім цим скінченим популяціям

.

Зауважимо, що  для усіх перестановок однакова.

Ця теорема стверджує, що якщо перестановку, яка визначає порядок значень у деякій конкретній скінченій популяції, можна вважати обраною навмання із можливих  перестановок, то в середньому систематичний відбір еквівалентний простому випадковому відбору.

При іншому підході скінчену популяцію вважають добутою навмання з деякої нескінченої надпопуляції, що має певні властивості. Теорема 1.3.1 відноситься не до будь-якої скінченої популяції, а до середнього по всім скінченим популяціям, які можуть бути добуті із даної нескінченої надпопуляції.

Позначимо через - середнє по всім скінченним популяціям, які можуть бути добуті з даної надпопуляції.

Теорема 1.3.2. Якщо змінні   добуті за допомогою випадкового відбору із надпопуляції, для якої

  , ,

.

Головну роль відіграють дві умови:

1)                всі  мають одне і теж середнє , тобто в їх змінах відсутній будь-який тренд;

2)                між значеннями  та  у двох різних точках відсутня лінійна кореляція. Дисперсія може бути різною для різних .

Доведення. Для будь-якої визначеної скінченої популяції

.

Далі,

.

Оскільки  та  некорельовані , то

.

Отже,

.

Звідси

.

Повертаючись до  позначимо через  середнє значення ознаки для -тої систематичної вибірки. Для будь-якої визначеної скінченої популяції

.

За теоремою про дисперсію середнього для некорельованої вибірки, добутої з нескінченої популяції

~,

,

.

Розглянемо докладніше вираз у дужках

.

Раніше було показано, що

.

Отже маємо

.

Теорема доведена.

1.4 Популяції з лінійним трендом

Якщо популяція містить тільки лінійний тренд, як показано на рис.1.4.1, то характер результатів уявити собі досить просто. З рис. 1.4.1 видно, що  та  (при вибірці з однією одиницею із кожної страти) будуть менше, ніж . Крім того,  буде більше, ніж , оскільки, якщо в деякій страті значення спостереження менше середнього для цієї страти, то при систематичному відборі значення спостереження буде менше в усіх інших стратах, в той час, як при випадковому стратифікованому відборі помилки всередині страт можуть взаємно знищуватись.

Рис. 1.4.1. Систематичний відбір із  популяцій з лінійним трендом:  - систематична вибірка, - стратифікована вибірка

Для теоретичної перевірки цих результатів достатньо розглянути випадок, коли , . Маємо

; ; . (1.4.1)

Дисперсія сукупності, , дорівнює:

. (1.4.2)

Отже, дисперсія середнього  для простої випадкової вибірки дорівнює:

. (1.4.3)

Для того, щоб знайти дисперсію всередині страт, , достатньо лише підставити у формулу (1.4.2)  замість . Це дає

 (1.4.4)

При систематичному відборі середнє значення для другої вибірки перевищує середнє для першої на 1; середнє значення для третьої вибірки перевищує середнє для другої на 1 і т.д. Тому при обчисленні дисперсії середні  можна замінити числами . Отже, виходячи з (1.4.2), використовуючи

;