Серьёзные лекции по высшей экономической математике

Комбинаторные формулы

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его Un.
Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве Un.

Примеры перестановок:
1)распределение n различных должностей среди n человек;
2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве Un? Число перестановок обозначается Pn (читается Р из n).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами [pic]1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Un в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно n-1 способом заполнить вторую ячейку (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится n-1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует n(n-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно [pic]. Отсюда

Pn = n(n - 1)(n - 2)...(3(2(1

Число n(n - 1)(n - 2)...(3(2(1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется "n-факториал" и обозначается n!. Отсюда Pn =n!

Пример. [pic] .

По определению считается: 1!=1; 0!=1.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества Un -
(множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается [pic][pic] (читается "А из n по k").

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

В задачах о размещениях полагается k