Решение задач по высшей математике

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике

Задача 1

Вычислить определители:

;

.

Решение

,

Задача 2

Вычислить определитель:

.

Решение

Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца

.

Задача 3

Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение

Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Ответ: Обратная матрица имеет вид:

.

Задача 4

С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение

Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим

.

Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем

 .

Ответ: Ранг матрицы равен двум.

Задача 5

Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

;

Решение

Вычислим главный определитель системы  и вспомогательные определители , ,.

.

;

;

.

По формуле Крамера, получим

;

; .

Задача 6

Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.

Решение

Матрица  и  имеют вид

,

.

Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему

Считая  и  известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

; ,

где ,  - могут принимать произвольные значения. Пусть  , где  Тогда ответом будет служить множество

Задача 7

Даны начало  и конец  вектора . Найти вектор  и его длину.

Решение

Имеем , откуда  или .

Далее , т.е. .

Задача 8

Даны вершины треугольника ,  и . Найти с точность до  угол  при вершине .

Решение

Задача сводится к нахождению угла между векторами  и :

, ; . Тогда , .

Задача 9

Даны вершины треугольника ,  и . Вычислить площадь этого треугольника.

Решение

Так как площадь треугольника  равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы  и :

; ; .

Вычислим их векторное произведение:

,

,

Откуда

. Следовательно,  (кв. ед.).

Задача 10

Даны вершины треугольной пирамиды , ,  и . Найти ее объем.

Решение

Имеем ,  и . Найдем векторное произведение

,

.

Этот вектор скалярно умножим на вектор :

.

Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:

.

Следовательно, объем:

,  (куб. ед.).

Задача 11

Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение

За первую вершину примем  (на результат это не влияет); следовательно,

,

,

,

.

Имеем

, , ,

Ответ:  - общее уравнение искомой прямой.

Задача 12

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение

Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:

1) параллельной: ,  - общее уравнение прямой, параллельной данной;

2) перпендикулярной: ,  - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.

Задача 13

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми   и  .

Решение

Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть . Для определения координат точки  на прямой  одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём ; тогда ,  и . По формуле расстояния от точки до прямой находим:

; .

Задача 14

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

.

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница

а)

б)

(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Имеем:

Тогда по признаку Даламбера:

, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд  сходится абсолютно.

а)

б) ,

следовательно ряд  - сходится.

2) Пусть . Тогда . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом . Имеем

.

Таким образом, ряд  - расходится.

Ответ

Область сходимости ряда  есть интервал .

Задача 15

Вычислить предел .

Решение

Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной , т.е. на :

,

так как  при .

Задача 16

Вычислить придел

Решение

Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители

, где  - его корни.

Тогда

.

Задача 17

Вычислить предел .

Решение

Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

.

Задача 18

Вычислить предел .

Решение

Легко убедиться, что  и  при .

Поэтому

.

Задача 19

Вычислить предел

Решение

Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим

.

Задача 20

Найти предел .

Решение

.

Задача 21

Продифференцировать функцию .

Решение

.

Задача 22

Вычислить при помощи дифференциала .

Решение

Пусть . Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим  и .

.

Итак, .

Задача 23

Найти .

Решение

Подстановка в заданную функцию значения  приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим:

.

Задача 24

Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

1. Находим область определения функции:.

2. Находим производную функции: .

3. Находим критические точки, решая уравнение  или . Критические точки , .

4. Область определения функции разбиваем критическими точками  и  на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.

При переходе через критическую точку  производная  меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:

.

Аналогично устанавливаем, что

.

Задача 25

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке .

Решение

1. Находим критические точки заданной функции:

; ; .

2. Убеждаемся в том, что точка  принадлежит отрезку.

3. Вычисляем: ; ;.

4. Сравниваем числа ; ;  и находим:

; .

Задача 26

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде , тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получим

 или .       (1)

Задача 27

Исследовать функцию .

Решение

1. Функция определена и непрерывна на интервале . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

2. Функция нечетная, поскольку . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

3. Положив , получим , т.е. кривая проходит через начало координат.

4. Функция не периодична.

5. Находим первую производную . Производная  для всех . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.

6. Находим вторую производную  и приравниваем её к нулю: . Точка  будет критической точкой. Точкой  разбиваем область определения функции на интервалы  и , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.

Поскольку при переходе через точку  производная  меняет знак, то точка  будет точкой перегиба искомой кривой.

7. Выясним наличие наклонных асимптот:

;

;

; .

Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:

 и .

Задача 28

Найти частные производные функции

.

Решение

; ; .

Задача 29

Найти производную функции  в точке  в направлении вектора .

Решение

; ; ; ; ; ; .

Задача 30

Даны функция  и точки  и . Вычислить:

1)       точное значение  функции в точке ;

2)       приближенное значение  функции в точке, исходя из её значения в точке , заменив приращение  при переходе от точки  к точке  дифференциалом ;

3)       относительную погрешность, возникающую при замене  на .

Решение

По условию , , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке :

.

Находим приближенное значение :

;

; .

Вычисляем относительную погрешность:

.

Задача 31

Найти экстремумы функции

.

Решение

Находим критические точки:

; ;

откуда  и  - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий

;

;

;

;

. Поэтому экстремума в точке  функция не имеет.

, . Поэтому функция в точке  имеет минимум: .

Задача 32

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:

.

Задача 33

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Принимая в подынтегральном выражении , , получим , . Поэтому

.

Проверка. .

Задача 34

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Сделав замену переменной

Получим

.

Задача 35

Вычислить .

Решение

Полагаем , ; тогда , .

Интегрируя по частям, находим

.

Задача 36

Вычислить

.

Решение

Положим . Подстановка значений  и  в уравнение дает  и . Таким образом,

.

Задача 37

Найти .

Решение

По определению

.

Задача 40

Найти общее решение уравнения .

Решение

Так как

,

то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении , получим уравнение  или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим

,

.

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

 или   .

Подставив , общее решение исходного уравнения запишем в виде , а после преобразования .

Задача 38

Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение

Составим ряд из абсолютных величин

,

По признаку Даламбера имеем:

,

следовательно , , , и на интервале  ряд сходится.

Проверим его сходимость на концах интервала:

1) Пусть . Тогда  - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:

Задача 14

Вычислить  с точностью до .

Решение

Разложив в ряд  и поделив почленно на , получим:

.

Выбираем функцию  такой, чтобы .

Тогда .

Интегрируем и находим  или .

Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение

,    ,       ;     .

Следовательно,  - общее решение заданного уравнения.

Задача 42

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Составим характеристическое уравнение

. Так как  и , то общим решением будет

.

Частное решение неоднородного уравнения  подбирается в зависимости от вида функции .

1.     Пусть , , представляет собой многочлен степени  с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

,

где  - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а  - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Задача 43

Найти общее решение уравнения .

Решение

Ищем общее решение в виде , где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение неоднородного уравнения. Так как  - многочлен первой степени  и один корень характеристического уравнения  , то частное решение надо искать в виде

.

Подберем коэффициенты  и  так, чтобы решение  удовлетворяло данному уравнению

,

,

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим

Следовательно, , а  - искомое общее решение.

2.     Пусть . Тогда частное решение неоднородного уравнения , где  - число корней характеристического уравнения, равных .

Задача 44

Найти общее решение уравнения .

Решение

Ищем решение в виде . Решим однородное уравнение . Корни характеристического уравнения  равны и . Следовательно, . Частное решение ищем в виде  (так как , ). Найдем , а . Подставляя ,  и  в исходное уравнение, получим

,

, , .

Значит, - частное решение, а  - общее решение.

3.     Правая часть , где , ,  - заданные действительные числа. В этом случае частное решение ищется в виде

,

где:  и - неизвестные коэффициенты;

 - число корней характеристического уравнения, равных .

Задача 45

Найти общее решение уравнения .

Решение

Ищем общее решение в виде . Имеем:

, , , ,

значит, . Функция , поэтому  не совпадает с корнями характеристического уравнения . Следовательно,

,

.

Подставив ,  и  в данное уравнение, получим

.

Приравняв коэффициенты при  и , найдем

Значит,  - частное решение, а

 - общее решение уравнения.

Задача 46

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Найдем :

,

следовательно, исходя из необходимого признака, ряд расходится.

Задача 47

Исследовать сходимость ряда

Решение

Применим признак Даламбера:

,

,

,

следовательно, ряд сходится.

Задача 48

Исследовать на сходимость ряда

.

Решение

Сравним данный ряд с рядом :

.

матрица задача алгебраическая ряд уравнение

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково. Ряд   расходится , следовательно, и данный ряд  тоже расходится.