Расчетно-графическая работа по высшей математике

На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).

раствор конуса b = 300

радиус цилиндра R = 5 см

расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.

Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2

+ l = + 2 = 7.7 (см)

таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).

Уравнение цилиндрической поверхности:

(х+2)2+(y+2)2 = R2 ( I )

Параметризация цилиндрической поверхности:

(II)

Определение положения шва на цилиндрической детали:

потребуем, чтобы параметр uÎ . При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -.

Уравнение первой конической поверхности:

(x + 7.7)2 tg2b = y 2+ z2 (III)

Параметризация первой конической поверхности:

(IV)

Определение положения шва на первой конической детали:

потребуем, чтобы j Î [-p sinb ;p sinb ]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.

Уравнение второй конической поверхности:

(y+7.7)2 tg2b =x2+z2(V)

Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):

(VI)

(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение:

(-2+Rcos+7.7)2tg2b =(-2+Rsin)2+v2, которое в дальнейшем преобразуется к виду:

v = v(u) = ± (VII)

Знак “+” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0 , знак “-” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I), получаем уравнение:

(-7.7+r cosb +2)2 + (r sinb cos+2)2 = R2

преобразуем:

(r cosb -5.7)2 + (r sinb cos+2)2 = R2

r 2cos2b -2*5.7*r cosb +32.49+r 2sin2b cos2+4r sinb cos+4-R2 = 0

r 2(cos2b +sin2b cos2)+2r (-5.7cosb +2 sinb cos)+36.49-R2 = 0

r =r (j )=(IX)

a(j )=1- sin2b sin2 ;

b(j )=2(2sinb cos-5.7cosb );

c=36.49-R2 .

Линия пересечения симметрична относительно луча j =0; ветвь, соответствующая знаку “-” в формуле (IX), посторонняя.

Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго конуса(V), получаем уравнение:

(r sinb cos+7.7)2tg2b =(-7.7+r cosb )2+r 2sin2b sin2 квадратное уравнение относительно переменной r .

После упрощения получим:

r 2(sin2b cos2tg2b - cos2b -sin2b sin2)+r (2d(sinb cos tg2b +cosb ))+d2 (tg2b -1)=0

r =, (X)

где а = sin2b cos2tg2b - cos2b - sin2b sin2;

b = d(sinb cos tg2b +cosb );

c = d2(tg2b -1).

Она идентична выкройке первого конуса.

Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.

Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£ ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.

Произведем расчет по формулам (j ; r ) по формулам (IX, X). Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.

Возьмем сектор радиуса r 0=26см., и, учитывая симметричность относительно луча j =0, построим выкройку конической детали.

Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.