Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
Проводники в электрическом поле. Электростатический
метод изображений.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Поле
внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают
область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности
проводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированием
зависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Поле
ортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Заряд
σ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.
Метод
изображений состоит в замене системы "заряды + проводящая
поверхность" на систему "заряды + изображения". Правила
построения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности.
Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центра
сферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от оси
цилиндра:
плоскость
q → q' = –q, l → l' = l
заземленная
сфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l
цилиндр
λ → –λ, l → l' = R2/l
Если
сфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в начало
координат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются до
бесконечности, где φ = 0).
Основным
практическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщается
на систему зарядов (нитей, колец и т. д.) - всю ее надо отобразить относительно
плоскости.
Задача.
Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти
плотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда на
плоскость.
Ответ:
Задача.
Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит над
проводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределение
электрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизи
плоскости.
Решение:
Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищем
поле от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. После
этого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.
Поле
одной нити на расстоянии s от нее равно
и
направлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости на
расстоянии x от проекции нити на плоскость будет ():
Такое
же по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторном
суммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, а
перпендикулярные ей - удваиваются:
Соответственно,
имеем плотность индуцированного заряда:
Проинтегрировав
σ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарный
индуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как и
должно быть.
Задача.
Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z и
не доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизи
плоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.
Ответ:
Задача.
На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R<l расположен точечный
заряд q. Найти плотность заряда, индуцированного в ближайшей к заряду и в
наиболее удаленной от него точках шара.
Решение:
По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси
"центр сферы - заряд q", удаленную от центра на расстояние R2/l.
Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будет
R–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображения
направлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет
Сразу
же находится σ:
Аналогично
находим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле от
заряда q направлено от центра, а от изображения - на центр. Сумма этих полей
оказывается направленной к центру и по модулю равной:
так
что
Список литературы
1.
И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448
с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.
Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:
Наука, 1992. - 661 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
