Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана
Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного
представления на подалгебру Картана
С.В. Никитин, Омский государственный университет,
кафедра математического анализа
1. Введение
В
1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и ее алгебра Ли,
то для элемента X из подалгебры Картана алгебры выполнено
равенство
где
-
ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); - группа Вейля
алгебры , означает
выпуклую оболочку множества A.
Теорема
Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и
Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ эрмитовой
матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами содержится в
выпуклой оболочке множества , где Sn -
симметрическая группа, действующая на перестановками
координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может
быть получена таким способом.
Таким
образом, проекция орбиты - это выпуклый
многогранник с вершинами в точках . В 1982 г.
Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы
Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный
шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана.
Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа
проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но
представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения
проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть
-
конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее
подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью
коприсоединенного представления : , где , . Определим
орбиту элемента :
На
каждой орбите существует
единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая,
что для любой непрерывной функции и для любого
Пусть
ортогональная
проекция. Определим проекцию меры на - это мера , задаваемая
соотношением:
где
- финитная
непрерывная функция на . Мера абсолютно
непрерывна и , где - плотность
проекции меры . Нахождению
плотности и посвящена
эта статья.
Введем
некоторые обозначения: - система
корней алгебры , - множество
положительных корней, - их
полусумма. Пусть - решетка
весов алгебры , кроме того,
пусть обозначает
множество , где - камера
Вейля. представляет
собой множество всех старших весов . Каждому
неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если - характер
этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Интеграл
в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование
Фурье от функции :
Таким
образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть
неприводимое
представление . Обозначим
множество весов как . Если , то обозначает
кратность веса в
представлении . Известно, что
Поэтому,
применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
где
-
дельта-функция в точке . Найдя
функцию , мы получим
выражение для функции :
или
Точное
выражение для функции в дальнейшем
не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная,
кусочно-непрерывная функция.
3. Функция
В
этом разделе мы определим функцию , через
которую выражается функция , а также
укажем некоторые ее свойства.
В
дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е.
размерность подалгебры Картана , s - число
положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех
алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы
рассмотрим систему положительных корней как проекцию
набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.
Пусть
, где - векторное
пространство, порожденное , т.е.
линейная оболочка множества , . Рассмотрим
некоторое векторное пространство L, в которое вложено как
подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется
естественная ортогональная проекция . Нетрудно
проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность
пространства L, то в L можно найти набор из s векторов таких, что
(ei,ej)=0, если и, кроме того,
. Пространство
V - линейная оболочка векторов , которые
образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:
V+
- это конус в пространстве V, порожденный векторами . Определим на
функцию следующим
образом:
где
mes - мера Лебега на .
Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество 0-мерно. В
этом случае можно считать, что функция имеет
следующий вид:
Функция
определена
всюду в , непрерывна,
кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй с точностью до
пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса функция лишь
умножается на константу.
Можно
рассматривать функцию как
непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта , где - решетка
корней алгебры; - это число
способов представить в виде суммы
положительных корней, Q(0)=1. Пусть - решетка в V.
Тогда равно числу
элементов в множестве , а - это мера или
объем . Для примера
функция Костанта и функция для алгебры Ли
A2 связаны следующим образом: , . Формула
Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом такова:
4. Основной результат
Теорема. Пусть . Тогда
проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей
через точку , имеет
плотность :
Кроме
того, функция является
непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы
Вейля функцией,
носитель которой содержится в множестве .
НАБРОСОК
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для . Сечение орбиты , проходящее
через точку , имеет
размерность r, поэтому . Таким
образом, мы получаем:
Для
вычисления используется
формула Костанта для кратностей весов. Если , то
Затем
обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию ,
интегрируются по и, наконец, n
устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как
интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее
равенство:
Так
как это верно для любой непрерывной функции , то получаем
(*) для всех После этого,
используя однородность функции , (*),
доказывается для всех , , где , , а затем,
используя предельный переход, и для всех .
Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств
функции .
Докажем
инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство . Так как для
функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и . Далее, если , то
Затем
равенство доказывается
для всех . Из равенства
(*) легко получить, что . Так как
функция -инвариантна,
то .
Список литературы
Kostant B. On convexity, the Weyl
group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.
Guillemin V., Stenberg S. Convexity
properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.
Atiyah M. Convexity and commuting
hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.
Duistermaat J. J., and Heckman G. J.
On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase
space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.
Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman
formula for admissible coadjoint orbits, preprint.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/