Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет
Приближенное вычисление определенных интегралов.
ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
Н
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через
элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по
формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы
вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь
криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и
[x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью
криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени,
проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось,
параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть
параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола
проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других
пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное
значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой y = Ax2 + Bx + C, осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее
площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (?) где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине
отрезка
Пользуясь формулой (?), мы можем написать следующие приближенные
равенства (h=?x):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа
его приближенное значение:
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m
произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части
равенства дает значение интеграла.
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные
интегралы:
И
Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные
программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены
в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует
разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для
вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить
границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также
подынтегральную функцию в строке (***).
Были получены следующие ответы:
При n = 20.
Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double a = 0
'(*) b = 1
'(**) t = True
Do n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t delta = (b - a) / n chet = 0 nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double f = Sqr(1 + (x ^ 4))
'(***)
End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double a = 2
'(*) b = 5
'(**) t = True
Do n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t delta = (b - a) / n chet = 0 nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double f = 1 / (Log(x))
'(***)
End Function
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
