Пределы последовательностей и функций
Пределы последовательностей и функций
Контрольная работа по высшей математике
1. Пределы
последовательностей и функций
Числовой
последовательностью называется числовая
функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую
последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение
любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого
достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде
функции его номера: .
В
основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой
последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e
существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все
члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т.
е.
при .
Если
последовательность имеет предел А, то она
называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть
функция определена в некоторой
окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь
последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют
последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой
последовательности.
Число
А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности
значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу А, т. е.
.
Возможно
иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при
, если для всякого положительного числа e
можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e)
такое, что абсолютная величина разности будет меньше e,
когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля
, если при .
Таким
образом, первое определение предела функции основано на понятии предела
числовой последовательности, и его называют определением на «языке
последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».
Кроме
понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при
стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число
d,
что при всех справедливо
неравенство : .
Теоремы
о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций.
Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в
точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти
предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на
множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность
будет раскрыта.
2. Производная и
дифференциал
Пусть
функция определена в некоторой окрестности точки .
Производной
функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная
функции в точке обозначается
.
Например,
выражение следует понимать как производную функции в точке .
Определение
производной можно записать в виде формулы
. (4.1)
Предел
(4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел
(4.1) равен , то говорят,
что функция имеет в точке бесконечную производную.
В
различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения
величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к
графику в точке .
Нахождение
производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в
точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в
этой точке.
Укажем
правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций
к вычислению производных других (более простых) функций.
Если
функции дифференцируемы в точке , то сумма,
разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и
справедливы следующие формулы
.
Если
функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная
функция дифференцируема в точке и или .
Если
функция дифференцируема в точке и , то сложная
функция также дифференцируема в и верна следующая формула
или .
Пример.
Найти
производную функции
Решение:
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления
(построение графиков)
Функция
, определенная
во всех точках промежутка , называется
возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений
аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует
большее (меньшее) значение функции, т. е,
если
то при
– возрастающая, – убывающая.
Из
данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента
и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для
убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения
аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по
сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками
экстремума).
Точка
называется точкой максимума (минимума)
непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой
функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой
окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше
(больше), чем максимум (минимум) (рис. 1).
у
max у
min
f(х0) f(х0)
О х0–d х0 х0+d х
О х0–d х0
х0+d х