Поверхности
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Тульский государственный
университет
Реферат
на тему: «Поверхности»
Дисциплина:
«ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА»
Выполнил
студент группы 120691
Юдин А.С.
Проверил
Казимиров А.Н.
Поверхность - название
для двумерного многообразия в пространстве.
Поверхности определяются
как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду
уравнений. Это неявный способ указания поверхности. Существуют еще два: явный
способ (возможно, выразить одну переменную из уравнения поверхности через
другие) и параметрический способ задания. При параметрическом указании задается
система уравнений, которая и определяет поверхность.
Простая поверхность -
поверхность, которую можно представить как часть плоскости, подвергнутую
непрерывным искажениям.
Поверхности
классифицируются по многим признакам. Некоторые из них:
1) Кривизна: каждому
направлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения,
которая и определяет кривизну;
2) Наличие касательной к
поверхности: обычно касательная к поверхности – это плоскость. В некоторых
случая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно много
касательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на ее
гладкость;
3) Метрика и внутренняя
геометрия;
4) Нормаль: за нормаль к
поверхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости
в заданной точке. Существует так же нормальное сечение;
5) Геодезические линии:
кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точках
главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности;
6) Площадь: площадь в
общем смысле – это числовая характеристика. Существуют поверхности с
бесконечной площадью, например параболоид;
7) Ориентация:
ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением
нормали.
Приведем примеры
некоторых поверхностей, опишем их основные характеристики, укажем применение и
обозначение.
Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность,
каноническое уравнение которой имеет вид
где a, b и c -
положительные числа.
Данная поверхность обладает
тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими
служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало
координат. Существует так же эллипсоид вращения. Применяется в геодезии.
Сфера – частный случай эллипсоида -
замкнутая поверхность, следовательно, она имеет конечную площадь. Площадь сферы
находят по формуле S=4πR^2.
Поверхность обозначается
формулой:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 +
(z - z0)^2 = R^2.
Применяется во многих
отраслях (например, шарики для подшипников)
Рис. 1
На рисунке 1 представлен тор.
Тор получается при вращении окружности радиуса b по окружности радиуса a. Существует возможность проведения
такой касательной плоскости, которая будет иметь с тором только одну
единственную точку. Обозначается параметрическими уравнениями:
Применяется в
хлебопекарной промышленности.
Рисунок 1 содержит катеноид.
Параметрическое уравнение:
Эта поверхность
применяется в медицинской технике, для создания излучателя ультразвуковых волн.
Имеет бесконечную площадь, причем это поверхность вращения.
Псевдосфера имеет следующее параметрическое
уравнение:
Существование псевдосферы
выявлено из работ Лобачевского.
Рис. 2
На рисунке 2 изображен геликоид.
Прямой геликоид - поверхность, образованная движением прямой, вращающейся
вокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся в
направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны.
Задается параметрическими
уравнениями:
Применяется при создании
винтовых поверхностей, например лестниц или валов мясорубок.
Параболоид – поверхность вращения. Описывается
уравнениями:
z = ax^2 + by^2
Одна из наиболее
известных поверхностей – цилиндр. Имеет параметрические уравнения вида:
x=cos2Ps;
y=2t-1;
z=sin2Ps.
Цилиндры имеют широчайшее
применение во всех сферах жизни (например, колесо автомобиля, кружка, ручка).
Существует еще много
поверхностей в пространстве, которые имеют необычную для нас форму и размер. Мы
рассмотрели лишь простейшие из них.
