Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Исходные данные к курсовому проекту

Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

1)                 посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

2)                 на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

3)                 аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

; ; , где h – текущая высота;

или в нормальной форме:

; ; ; .

Здесь введены обозначения:

; ; ; ; .

Граничные условия имеют вид:

; ; ; ; ,

причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .

Исходные данные для расчетов

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

1.)               Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.)               Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

3.)               Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компоненты x1, x2, ψ0.

4.)               Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

5.)               Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

6.)               Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда  и управление u*=0, и когда , u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

, где        с – сила тяги двигателя,

m – масса космического аппарата;

 – ускорение аппарата.    

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):

;

;

 кг/с.

Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:

; .

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

;

Тогда критерий оптимизации:

;

. (Здесь .)

Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:

;

;

.

Выберем управление:

      ;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и , отсюда

                                              ;

             ;

                                        .

Критерий оптимизации:

.

Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).

, где t – текущее время.

.

Тогда основные уравнения состояния:

Составим гамильтониан Н:

;

.

Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :

                – так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

       – аналогично, так как функция не зависит от х1.

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Функция переключения:

Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:

Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:

;

Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.

, следовательно, , где c2 = const.

Итак,

Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная  имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует

На первом участке полета, на котором u1=0:

; ; ;

;

;

.

Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.

На отрезке полета со включенным двигателем:

;

так как , запишем:

.

Теперь, зная х3, можно выразить х2:

.

Теперь, зная х2 выразим х1:

;

На отрезке пути h(t):

В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть  и . На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:

Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:

;

Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):

Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1]:

Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):

кг.

Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:

 м.

Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.

[1] Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad