Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Введение 3

1.Постановка задачи 3

2. Оценочный анализ решения задачи. 4

2.1. Оценка решения сверху. 4

2.2. Оценка решения в виде интеграла 5

2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности 8

3. Формулировка результата в виде теоремы 10

4. Примеры 11

Заключение 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13

Введение

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения.
Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи

В дипломной работе рассматривается задача:

[pic](З)

0[pic][pic][pic]. t
[pic] x

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области [pic]
, и исследовать полученную оценку при [pic]

2. Оценочный анализ решения задачи.

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения [pic] в прямоугольнике [pic] , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах»
[2].

2.1. Оценка решения сверху.

В области t=t , x=[pic] рассмотрим решение задачи :

[pic], V(0,x) = [pic]( x ), x[pic] , (1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) = [pic]. (2)

Зафиксируем некоторое [pic]и перейдем к исходной системе координат, тогда
(2) в системе t=t, x=[pic] будет выглядеть так:

V(t, x) = [pic] (2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x ) [pic] V( t, x ). (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

2.2. Оценка решения в виде интеграла

Разобьем интервал [pic]< x [pic] [pic] на две части [pic]и [pic], тогда интеграл (2’) запишется в виде:

V( t, x ) = [pic]. (*)

Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что [pic]:

[pic] ; (а)

[pic] ;

[pic] ;

где [pic] .

После проведенного исследования видно, что

[pic]

Использовав известное разложение [pic], где Z [pic]0, [pic] , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а) [pic];

(б) [pic].

В результате получим :

[pic]

Здесь:

[pic], [pic] , (4.1)

[pic], [pic]. (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:

m=1,

[pic]

U(t, x) [pic] . (5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к
.[pic]фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

[pic] пусть [pic]
(т.е. [pic]финитна), в соответствии с принципом максимума:

[pic] , (3’) при [pic] где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

[pic]

[pic]

Аналогично, как и выше

[pic] здесь:

[pic]
Таким образом,
[pic]
(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

[pic] (5.1)
Рассмотрим два случая: а) Пусть [pic]

[pic], тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени [pic], поэтому (5.1) можно переписать как:

[pic] (5.2) б) Пусть [pic]тогда:

[pic] где [pic]
В результате получаем:

[pic] (5.3)

2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности

Зададим произвольно некоторую константу [pic]>0, потребовав чтобы в
(5)

[pic]