Овалы Кассини и пузыри в моделировании мягких оболочек

Шальнев Олег Васильевич.

1. 4

В работе рассматриваются закономерности изменения конфигурации меридиана мягких оболочек, деформированных внешней нагрузкой в пределах как области бесскладчатости, так и в запредельных областях с помощью модельных поверхностей вращения овалов Кассини.

Мягкие силовые оболочки, способные оказывать сопротивление действию внешней сжимающей нагрузки и совершению работы по перемещению поверхности оболочки, деформированной внешней нагрузкой, относятся к мягким домкратам. Характерной особенностью их является трансформация начальной геометрической формы в процессе перемещения под нагрузкой в диапазоне от складчатого (запредельного) состояния к бесскладчатому.

Наряду с традиционным подходом к расчету мягких силовых оболочек известны модельные описания их формы специфичными кривыми (эластиками Эйлера), очерчивающими меридиан поверхности вращения наибольшего объема при его заданной длине / 5 /, а также с помощью дифференциальных уравнений, определяющих радиусы кривизны безызгибных оболочек вращения под действием равномерного давления / 13 /.

Однако, применение разомкнутых кривых Эйлера для моделирования замкнутых поверхностей вращения приводит к необходимости введения граничных условий, частных расчетных схем, а использование модели, основанной на дифференциальных уравнениях имеет ограничения только действием в области бесскладчатости. Поэтому первым условием создания математической модели является ее замкнутость и непрерывность кривизны. Другим условием создания модели является обобщенность начальной формы мягких оболочек.

При условии абсолютной эластичности материала наиболее рациональной формой является равнонапряженная сфера, или в общем случае овалоид (вытянутый или сплюснутый) равного давления, соотношение размеров которого соответствует условию бесскладчатости. Для запредельного состояния в качестве начальной может быть принята составная (эквипотенциальная) поверхность равного напряжения (пузырьковая модель), представляющая блок равнонапряженных, плотно упакованных упругих сфер / 17 /. Поэтому третьим условием создания модели является возможность приведения изменяемых геометрических форм мягких оболочек к общему уравнению.

Таким условиям моделирования соответствует семейство овалов Кассини. Особенностью этих плоских кривых является их геометрическая аналогия с эквипотенциальными линиями электромагнитного силового поля, образованного двумя точечными зарядами. То есть, кривые Кассини очерчивают меридиан поверхности равного напряжения потенциального поля сил давления сжатой среды, заключенной в деформированную мягкую оболочку.

Овалы Кассини /15/ при определенных значениях констант уравнения являются частным случаем спирических кривых Персея–алгебраических линий четвертого порядка, для которых оси координат служат осями симмерии.

Линиями Кассини называются геометрические места точек (М), для которых произведение расстояний (F1M x F2M = d²), где (F1; F2) – фиксированные фокусы, (d) – постоянная. Уравнение, определяющее форму овала в декартовой системе координат , имеет вид (Рис. 25):

(x² + y²)²– 2f (x² – y²) = d4 – f4, (34)

где f = const – межфокусное расстояние;

0 < d < ¥ - характерная константа овалов Кассини.

В полярных координатах уравнение Кассини имеет вид:

r²= f² cos 2j ± SQR( f4 cos( 2j)² + (d4 – f4)) . (35)

В зависимости от соотношения параметров (f) и (d) следует рассматривать четыре основные формы овалов, используемых для моделирования геометрической формы мягких оболочек.

При (d > f) – кривые имеют формы замкнутых, симметричных относительно координатных осей линий овалов, стремящихся к окружности, кривизна в точках (G) и (E) положительная. При (d = f SQR( 2) – граничный овал с нулевой кривизной, в точках ( С1') и ( С2') разделяет семейство овалов положительной и отрицательной гаусовой кривизны. При (d = f) – граничный овал в точке (О) неразрывности кривизны формы кривой. При (d < f) овал состоит из двух замкнутых линий, точки (А) и (В) стремятся к точкам фокуса.

Отсюда, при различных значениях геометрического параметра (d) можно получать различные по форме кривые, вращение которых вокруг осей симметрии приведут к поверхностям вращения, традиционным для дифференциальной геометрии (сфере, овалоидам, цилиндру, конусу, тороидам). (См. рис.24).Все эти поверхности описываются преобразованным уравнением (34) кривых Кассини в пространстве:

(x² + y² = z²)² – 2f² (x² + y² – z²) – (d4 – f4) = 0. (36)

Следовательно, поверхности вращения плоских кривых Кассини могут представлять геометрическую модель мягких оболочек, а пространственное уравнение (36) является математической моделью мягких оболочек изменяемой формы. Причем, если уравнение (36) моделирует область бесскладчатых поверхностей, то уравнение (35) в полярных координатах – запредельную область деформирования мягких оболочек (Рис.26)

Состояние бесскладчатости напряженной оболочечной конструкции зависит от соотношения размеров ее осей. Рассмотрим их значение в зависимости от параметров (f) и (d).

При условии (d > f) кривые имеют продольную ось (2 а), равную

a = SQR( (d ² + f ²) , (37)

а наибольший поперечный размер:

при (d > f SQR( 2) b = SQR( (d²– f²)) , (38)

при (f £ d < f SQR( 2) b = d² / 2 f. (39)

При (f £ d < f SQR( 2)) кривые имеют четыре точки перегиба ; при (d < f) кривые распадаются на две отдельные замкнутые ветви с соотношением продольной внешней и внутренней осями соответственно :

a= SQR( (d² + f²) , (40)

aвн = SQR( (f² – d²). (41)

Так как кривые Кассини являются частным случаем спирических кривых, то есть характеризуемых наличием эксцентриситета радиусов кривизны, чистые овалы стремятся к окружности либо при возрастании (d стремится к ∞), либо при (f = 0).

Следует отметить, что одним из условий моделирования напряженных оболочечных конструкций является общность начальной модельной формы оболочки, предложенной авторами в виде равнонапряженной сферы, т. е. приведем овалы Кассини к предельному уравнению окружности .

При этом эксцентриситет кривизны меридиана изменяется в пределах (0 < f

Информация