Основы высшей математики
Контрольная
работа
Основы
высшей математики
Оглавление
Введение
1 Операция умножения
(деления) матрицы любого размера на произвольное число
2 Произведение матриц
3 Транспонированная
матрица
4 Задача
Список использованных
источников
Введение
Понятие Матрица (в математике) было введено в работах
У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы
К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20
века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от
многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем
дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные
обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях.
Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения
эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.
С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений,
выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной
графики и другие инженерные задачи.
1
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
Матрицей
называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и
некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В
случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.
Все числа,
входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их
нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.
Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где
по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
играет роль
единицы в матричном исчислении.
Если такую матрицу
умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.
-
дельта Кронекера
Операция умножения
(деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению
(делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на
число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В = k × A
bij
= k × aij.
Матрица - А = (-1)
× А называется противоположной матрице А.
2
Произведение матриц
Операция умножения
двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p,
называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,
т. е. находиться
сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие
элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного
размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А ×
Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же
размера.
Свойства умножения
матриц:
Умножение матриц
не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения.
Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие
матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить
единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей
того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и
того же порядка.
А × Е =
Е × А = А
Умножение матриц
обладает следующими свойствами:
1. А × (В × С) = (А ×
В) × С;
2. А × (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) × С = АС + ВС;
4. α × (АВ) = (αА) ×
В;
5. А × 0 = 0; 0 × А =
0;
6. (АВ)Т = ВТАТ;
7. (АВС)Т = СТВТАТ;
8. (А + В)Т = АТ + ВТ.
3 Транспонированная
матрица
Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной
матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i,
j] = A [j, i].
Например,
Свойства транспонированных матриц:
1. (AT)T
= A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BTAT
4. detA = detAT
4 Задача
Список
использованных источников
1. Выгодский М.Я. Справочник
по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.
2. Высшая математика для
экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.
3. Гусак А.А., Гусак
Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс,
2004. - 640 с.
4. Миносцев В.Б. Курс
высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.
