Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение:  Элемент наилучшего приближения – L – линейное  многообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема:  Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:  Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:  Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze,L)>1-e

Определение:  Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:  О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:  Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:  Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:  L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема:  Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента. 

Определение:  Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение:  Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:  Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:  Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема:  Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем  X.

Определение:  Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема:  A – ограниченный ó "xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема:  Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.

Теорема:  {Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.

Определение:  Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0,  nà¥, обозначают AnàA

Определение:  Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥

Теорема:  Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:  Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x’ÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è $ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A)  2) ║A’║=║A║

Определение:  Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a

Определение:  Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║<e

Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение:  Ядро –

Определение:  Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)

Определение:  Сопряженный оператор A*: Y*àX*

Теорема:  Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.

Определение:  Оператор А – обратимый

Определение:  Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема:  A-1 $ и ограничен ó $m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема:  Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение:  MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение:  Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема:  Хаусдорфа. MÌX компактно ó "e>0 $ конечная e-сеть

Теорема:  Арцела.  MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение:  Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:  s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема:  Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

1.        Пространства векторов

                              сферическая норма

                                              кубическая норма

                                                   ромбическая норма

                            p>1

2.        Пространства последовательностей     

                                                                            p>1

  или    пространство ограниченных последовательностей

                 пространство последовательностей, сходящихся к нулю

                   пространство сходящихся последовательностей

3.        Пространства функций

        пространство непрерывных на  функций

    пространство k раз непрерывно дифференцируемых на  функций

£p[a,b]            пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

 - пополнение £p[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера      p,q>0

Неравенство Минковского