Орграфы, теория и применение

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский Государственный инженерно-экономический университет»

Филиал в г. Чебоксары

Факультет финансов и бухгалтерского учета

Кафедры финансов и банковского дела

Реферат

по дисциплине «Математика»

На тему: «Орграфы, теория и применение»

Выполнила:

Студентка группы 32-08

Рассанова Мария

Научный руководитель:

Качевский

Дмитрий Николаевич

Чебоксары 2009

Содержание

Введение

Глава 1. Граф. Общее представление

·                    Связность

·                    Дополнительные определения

·                    Применение орграфов

Глава 2. Теория графов

·                    Определения

·                    Способы задания графов

·                    Связность

·                    Планарность

·                    Матричное представление графов

·                    Орграфы и соединимость

·                    Орграф и его конденсация

·                    Ориентированная двойственность и бесконтурные орграфы

·                    Слабый функциональный орграф

Заключение

Список исследуемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Теория графов предоставляет эффективные средства формализации задач из самых различных областей: экономики, физики, химии, планово-производственной практики, управления производством, сетевого и календарного планирования, информационных систем, и многих других. Одним из таких средств является ориентированный граф. Существует большое количество задач, решаемых на орграфах. Чаще всего рассматриваются задачи о достижимости (т.е. о существовании пути, связывающем две заданные вершины), о нахождении путей, обладающих какой-либо экстремальной характеристикой (например, кратчайший, или наиболее надежный путь), о случайных блужданиях, потоковая задача. Все они хорошо изучены и разработаны эффективные алгоритмы их решения. При этом предполагается, что все пути на графе являются допустимыми, т.е. не накладывается никаких ограничений на достижимость.

Наиболее известные работы в этой области принадлежат Кристофидесу Н., Басакеру Р.Д., Харари Ф., Бержу К., Дейкстре Э., Флойду Р., Замбицкому Д.К., Оре О., Саати Т., Фалкерсону Д.Р., Форду Л.Р.

В отличие от классического подхода, Басанговой Е.О. и Ерусалимским Я.М. было введено понятие ориентированных графов с нестандартной достижимостью, т.е. орграфов, в которых на допустимые пути накладываются какие-либо ограничения. В обычном ориентированном графе, для того чтобы одна вершина была достижима из другой, необходимо существование пути, связывающего две эти вершины. В случае же орграфов с нестандартной достижимостью требуется, кроме того, чтобы этот путь удовлетворял некоторому условию (ограничению). Понятно, что в этом случае классические алгоритмы решения задач на графах непосредственно неприменимы.

В работах Ерусалимского Я.М., Басанговой Е.О., Логвинова С.Ю., Скороходова В.А., Петросяна А.Г. описаны различные виды ограничений на достижимость. Так, Ерусалимским Я.М. и Басанговой Е.О. рассмотрено несколько видов достижимости на частично-ориентированных графах, на которых присутствуют ориентированные и неориентированные ребра. Введено понятие смешанной цепи, на дуги и звенья которой накладываются различные условия, в зависимости от вида ограничений. Например, рассмотрены случаи, когда в смешанной цепи два неориентированных ребра не могут следовать непосредственно друг за другом, или дуги и звенья строго чередуются.

В работах Скороходова В.А. рассмотрены орграфы с накоплением неубывающей магнитности  - го уровня. На таких графах допустимым является магнитно-накопительный путь порядка  с неубывающей магнитностью, т.е. такой путь, что если на  - м шаге величина накопленной магнитности не меньше  и среди выходящих дуг есть хотя бы одна магнитная, то  - я дуга пути должна быть магнитной. Другой вид достижимости – вентильно-накопительная. В этом случае множество дуг графа представляется в виде . В допустимом пути прохождение по дуге множества  делает доступными для прохождения дуги множества . Также рассмотрены условия накопления - исчезания и возрастания-убывания магнитности, вентильная достижимость с возрастанием-убыванием доступа и энергии на пути, механическая достижимость.

Петросяном А.Г. определена барьерная достижимость, при которой множество дуг разбивается на три попарно непересекающихся подмножества: дуг, увеличивающих барьерный показатель, дуг барьерного перехода и нейтральных дуг. С каждым отрезком пути связана числовая характеристика – барьерный показатель частицы. Путь допускает барьерный переход уровня , если к некоторому шагу он накопил величину барьерного показателя, не меньшую . Еще один вид ограничений – биполярная магнитность. В этом случае определяется величина накопления биполярной магнитности. Путь считается допустимым, если он удовлетворяет условию биполярной магнитности уровня .

Общим подходом к решению задач на орграфах с ограничениями на достижимость является построение вспомогательного графа, имеющего большее количество вершин, и обладающего следующим свойством: допустимому пути на исходном графе с ограничениями соответствует некоторый путь на вспомогательном графе, а недопустимому пути не соответствует ни один путь. Алгоритм построения такого графа зависит от вида вводимых ограничений. На вспомогательном графе, таким образом, все пути являются допустимыми, а дуги – равноправными, и его можно рассматривать как обычный ориентированный граф. Для графов с нестандартными достижимостями описанных видов рассмотрены классические задачи о кратчайшем пути из вершины в вершину, о максимальном потоке в сети с нестандартной достижимостью и о случайных блужданиях на таких графах. Наибольшую сложность вызывают две последние задачи, так как при построении вспомогательного графа увеличивается не только количество вершин, но и количество дуг. При этом необходимо правильно распорядится весами дуг, по которым строится несколько дуг на вспомогательном графе. Серьезного осмысления каждый раз требует и перенос соответствующего результата с вспомогательного графа на основной граф.

Цели и задачи работы. Цель состоит в изучении графов с нестандартными достижимостями, разработке алгоритмов решения задач на таких графах, описании нового класса динамических графов, программной реализации полученных алгоритмов.

Глава 1. Граф. Общее представление

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность объектов со связями между ними.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами.

Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены следующие условия:

V это множество вершин или узлов, E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами. V (а значит и E) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становятся ложными в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | — порядком, число рёбер | E | — размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = {u,v}. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = {v,v}.

Степенью degV вершины V называют количество рёбер, для которых она является концевой (при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:

V это множество вершин или узлов,

A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v w ведёт от вершины v к вершине w.

Формально, орграф D=(V, E) есть множество E упорядоченных пар вершин .

Дуга {u, v} инцидентна вершинам u и v. При этом говорят, что u — начальная вершина дуги, а v — конечная вершина.

Орграф, полученный из простого графа (Простой граф — граф, в котором нет кратных рёбер и петель.) ориентацией ребер называется направленным. В отличие от последнего, в произвольном простом орграфе две вершины могут соединяться двумя разнонаправленными дугами.

Направленный полный граф называется турниром. Полный граф — простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с n вершинами имеет n(n − 1) / 2 рёбер и обозначается Kn. Является регулярным графом степени n − 1.

Связность

Маршрутом в орграфе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг, вида v0{v0,v1}v1{v1,v2}v2…vn (вершины могут повторяться). Длина маршрута — количество дуг в нем.

Путь есть маршрут в орграфе без повторяющихся дуг, простой путь — без повторяющихся вершин. Если существует путь из одной вершины в другую, то вторая вершина достижима из первой.

Контур есть замкнутый путь.

Для полумаршрута снимается ограничение на направление дуг, аналогично определяются полупуть и полуконтур.

Орграф сильно связный, или просто сильный если все его вершины взаимно достижимы; односторонне связный, или просто односторонний если для любых двух вершин, по крайней мере одна достижима из другой; слабо связный, или просто слабый, если при игнорировании направления дуг получается связный (мульти)граф;

Максимальный сильный подграф (Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и все рёбра, инцидентные данному подмножеству. (ср. Суграф-частичный граф исходного графа — граф, содержащий все вершины исходного графа и подмножество его рёбер)) называется сильной компонентой; (Орграф называется сильно связным (strongly connected), если любые две его вершины сильно связаны. Две вершины s и t любого графа сильно связаны, если существует ориентированный путь из s в t и ориентированный путь из t в s. Сильно связными компонентами орграфа называются его максимально сильно связные подграфы). Односторонняя компонента и слабая компонента определяются аналогично.

Конденсацией орграфа D называют орграф D*, вершинами которого служат сильные компоненты D, а дуга в D* показывает наличие хотя бы одной дуги между вершинами, входящими в соответствующие компоненты.

Дополнительные определения

Направленный ациклический граф или гамак есть бесконтурный орграф. (Направленный ациклический граф — случай направленного графа, в котором отсутствуют направленные циклы, то есть пути, начинающиеся и кончающиеся в одной и той же вершине. Направленный ациклический граф является обобщением дерева (точнее, их объединения — леса)).

Ориентированный граф, полученный из заданного сменой направления ребер на противоположное, называется обратным.

Изображение и свойства всех орграфов с тремя узлами. Легенда: С – слабый, ОС – односторонний, СС – сильный, Н – является направленным графом, Г – является гамаком, Т – является турниром.

Применение орграфов

Орграфы широко применяются в программировании как способ описания систем со сложными связями. К примеру, одна из основных структур, используемых при разработке компиляторов и вообще для представления компьютерных программ — граф потоков данных.

Бинарные отношения

Бинарное отношение над конечным носителем может быть представлено в виде орграфа. Простым орграфом представимы антирефлексивные отношения, в общем случае требуется орграф с петлями. Если отношение симметрично, то его можно представить неориентированным графом, а орграф отношения делимости. Если антисимметрично, то направленным графом. (В математике бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар).

Глава 2. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Граф G – совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между которыми определено отношение инцидентности. Каждое ребро e из E инцидентно ровно двум вершинам v', v'', которые оно соединяет. При этом вершина v' и ребро e называются инцидентными друг другу, а вершины v' и v'' называются смежными. Часто пишут v', v'' из G и e из G. Если |V(G)|=n, |E(G)|=m, то граф G есть (n,m) граф, где n – порядок графа, m – размер графа.

Определения

Ребро (v',v'') может быть ориентированным и иметь начало (v') и конец (v'') (дуга в орграфе).

Ребро (v,v) называется петлей (концевые вершины совпадают).

Граф, содержащий ориентированные ребра (дуги), называется орграфом.

Граф, не содержащий ориентированные ребра (дуги), называется неографом.

Ребра, инцидентные одной паре вершин, называются параллельными или кратными.

Граф с кратными ребрами называется мультиграфом.

Граф, содержащий петли (и кратные ребра), называется псевдографом.

Конечный граф – число вершин и ребер конечно.

Пустой граф – множество ребер пусто (число вершин может быть произвольным).

Полный граф – граф без петель и кратных ребер, каждая пара вершин соединена ребром. Обозначение для полного графа с n вершинами – Kn.

Граф называется двудольным, если существует такое разбиение множества его вершин на две части, что концы каждого ребра принадлежат разным частям (долям).

Если любые две вершины двудольного графа, входящие в разные доли, смежны, то граф называется полным двудольным . Обозначение для полного двудольного графа с n и m вершинами – Kn,m.

Локальная степень вершины – число ребер ей инцидентных. В неографе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер (лемма о рукопожатиях). Петля дает вклад, равный 2 в степень вершины.

Следствие 1 из леммы о рукопожатиях. Произвольный граф имеет четное число вершин нечетной степени.

Следствие 2 из леммы о рукопожатиях. Число ребер в полном графе n(n-1)/2.

В орграфе две локальных степени вершины v: deg(v)+ и deg(v) – (число ребер с началом и концом в v)

Графы равны, если множества вершин и инцидентных им ребер совпадают.

Графы, отличающиеся только нумерацией вершин и ребер, называются изоморфными.

Граф называется регулярным (однородным), если степени всех его вершин равны.

Способы задания графов

Матрица инцидентности A. По вертикали указываются вершины, по горизонтали – ребра. Aij=1 если вершина i инцидентна ребру j, в противном случае aij=0. Для орграфа aij=-1 если из вершины i исходит ребро j, aij=1 если в вершину i входит ребро j. Если ребро – петля, то aij=2. Список ребер. В первом столбце ребра, во втором вершины им инцидентные. Матрица смежности – квадратная симметричная матрица. По горизонтали и вертикали – все вершины. Dij= число ребер, соединяющее вершины i,j. Матрица Кирхгофа: bij=-1, если вершины i и j смежны, bij=0 если вершины i и j не смежны, bii=deg(i). Сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы Кирхгофа равна 0.

Связность

Отношение вершин графа «существует маршрут, связывающий вершины» является отношением эквивалентности, задающее разбиение графа на компоненты связности. Индекс разбиения – k.

МАРШРУТЫ, ЦЕПИ, ЦИКЛЫ

Чередующаяся последовательность v1, e1, v2, e2, … , en, vn+1 вершин и ребер графа такая, что ei =vivi+1 (i=1, n ), называется маршрутом, соединяющим вершины 1 и vn+1 (или (v1vn+1)-маршрутом). Очевидно, что для задания маршрута в графе достаточно задать последовательность v1, v2, …, vn+1. его вершин, либо последовательность e1, e2,… , en его ребер.

Вершина v называется достижимой из вершины u, если существует (u, v)-маршрут. Любая вершина считается достижимой из себя самой.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Маршрут (1) называется циклическим, если v1=vn+1. Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь – простым циклом. Число ребер в маршруте называется его длиной. Цикл длины 3 часто называют треугольником. Длина всякого цикла не менее трех, если речь идет о простом графе, поскольку в таком графе нет петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.

Маршрут – последовательность ребер, в которых каждые два соседних ребра имеют общую вершину.

Маршрут, в котором начало и конец совпадают – циклический.

Маршрут в неографе, в котором все ребра разные – цепь.

Маршрут в орграфе, в котором все дуги разные – путь.

Путь, в котором начало и конец совпадают – контур.

Цепь с неповторяющимися вершинами – простая.

Циклический маршрут называется циклом, если он цепь и простым циклом, если эта цепь простая.

Вершины связанные, если существует маршрут из одной вершины в другую.

Связанный граф – если все его вершины связаны. Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Очевидно, что для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины u и каждой другой вершины v существовал (u, v)-маршрут.

Свойства маршрутов, цепей и циклов:

1) Всякий незамкнутый (u, v)-маршрут, содержит в себе простую (u, v)-цепь. В частности, любая (u, v)-цепь, содержит в себе простую (u, v)-цепь. Причем, если (u, v)-маршрут содержит в себе вершину w (w?u и w?v), то в общем случае, простая (u, v)-цепь может не содержать в себе вершину w.

2) Всякий непростой цикл можно разбить на два или более простых. Причем для замкнутого маршрута такое утверждение не верно.

3) Всякая непростая (u, v)-цепь, может быть разбита на простую (u, v)-цепь и один или более простых циклов. Причем для незамкнутого маршрута такое утверждение не верно.

4) Для любых трех вершин u, w, v из существования (u, w)-цепи их и (w, v)-цепи, следует существование (u, v)-цепи. Причем может не существовать (u, v)-цепи, содержащей вершину w.

5) Объединение двух несовпадающих простых (u, v)-цепей содержит простой цикл.

6) Если граф содержит 2 несовпадающих цикла с общим ребром e, то после удаления этого ребра граф по-прежнему содержит цикл.

Если два графа изоморфны:

1) то они одного порядка;

2) у них одинаковое количество ребер;

3) для произвольного i,0?i?n-1, (n – порядок графов) количество вершин степени i, у обоих графов одинаковое;

4) у них совпадают обхваты;

5) у них одинаковое количество простых циклов минимальной длины (по количеству ребер).

Число ребер маршрута – его длина. Эйлеров цикл – цикл графа, содержащий все его ребра. Эйлеров граф – граф, имеющий Эйлеров цикл.

Теорема. Мультиграф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он связен и число вершин нечетной степени равно 0 или 2. Гамильтонов цикл – простой цикл, проходящий через все вершины.

ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МАРШРУТ ДЛИНЫ k в орграфе из v в w в орграфе G=(V,E) – последовательность дуг вида (v,w1), (w1,w2), (w2,w3), …, (wk-1,w), т.е. конец каждой дуги, кроме последней, совпадает с началом следующей. Для упрощения маршрут удобно представлять последовательностью вершин, которые его представляют, однако следует помнить об одинаковом направлении дуг, входящих в маршрут: v, w1, w2, w3, …, wk-1,w.

ОРИЕНТИРОВАННАЯ ЦЕПЬ (ПУТЬ) – это ориентированный маршрут, в котором все дуги различны.

Маршрут называется ЦИКЛИЧЕСКИМ, если его начало и конец совпадают.

Циклический путь называется КОНТУРОМ.

Вершина w ДОСТИЖИМА из v, если существует (v,w) – путь. Орграф называется связным, если существуют пути для всех пар различных вершин графа. Матрица связи, связности, достижимости C=A(R*) определяется аналогично графам. Заметим, однако, что для орграфов отношение R* НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОТНОШЕНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ на V и, следовательно, не осуществляет разбиения V!

Пусть «D – множество всех орграфов, а «G – множество всех графов.

Мы можем определить отображение «F: «D è «G следующим образом.

Пусть G=(V,E) in «D. Тогда множество вершин F(G) in «G совпадает с V, а множество дуг F(G) определяется применением следующих операций на E:

a) удаляются все петли из Е;

б) (v,w) заменяются на [v,w] для всех (v,w) in E.

Тогда F(G) является графом, СВЯЗАННЫМ с орграфом G.

Для орграфов понятие связности является более содержательным, чем для графов. Различают три важных типа связности орграфа:

а) G СИЛЬНО СВЯЗНЫЙ, если для каждой пары различных вершин v,w in V существует маршрут из v в w и обратно.<