Центральная Научная Библиотека |
|
|
|
|
|
|
Главная |
|
|
Выборочная дисперсия S^2 равна центральному моменту второго порядка: В нашем примере: S^2= 63,94 Ввыборочное среднее квадратическое отклонение: В нашем примере: S= 7,996 Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам Ac = m3/ S^3; В нашем примере: Ас =-0,00557 Ek = m4/ S^4 -3; В нашем примере: Ek = -0,03442 Медиана Ме - значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2 Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому. В нашем примере: Me=751,646 Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота. Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1) где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере: Mo = 751,49476 Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным. Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06% В нашем примере: Vs= 1,06% 3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту. Графическое изображение вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически. Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей) Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4. Интервалы xi Wi Whi Wi/hAi-bi 1 2 3 4 5 4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18 5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27 5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09 5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73 5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64 5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64 5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18 5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 1,00 - |
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.
Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.
4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.
Приечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.
Расчет теоретической нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi,
где n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется по формуле
Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],
Где Ф(t)=2\ 2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для
T2i=bi-x ср.\ S
T1i=ai-x ср.\S
Интервалы
Mi
T1
T2
1/2Ф(T1)
1/2Ф(T2)
Pi
a(i)
b(i)
730,644
735,356
2
-2,640
-2,051
0,4958
0,4798
-0,0080
735,356
740,068
8
-2,051
-1,461
0,4798
0,4279
-0,0260
740,068
744,780
6
-1,461
-0,872
0,4279
0,3078
-0,0601
744,780
749,492
18
-0,872
-0,283
0,3078
1,1103
0,4013
749,492
754,204
35
-0,283
0,306
0,0300
0,6619
0,3160
754,204
758,916
12
0,306
0,896
0,1179
0,3133
0,0977
758,916
763,628
11
0,896
1,485
0,3133
0,4306
0,0587
763,628
768,340
6
1,485
2,074
0,4306
0,4808
0,0251
768,340
773,052
2
2,074
2,664
0,4808
0,4960
0,0076
Pi*n
Mi(теор)
Mi(теор)/h
Mi(теор)накоп
-0,8000
1
0,002
0,0080
-2,5950
3
0,006
0,0340
-6,0050
6
0,013
0,0940
40,1250
40
0,085
0,4953
31,5950
32
0,068
0,8153
9,7700
10
0,021
0,9130
5,8650
6
0,012
0,9716
2,5100
3
0,005
0,9967
0,7600
1
0,002
1,0000
100
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.
6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).
Проверка гипотез о нормальном законе распределения
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.= (mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к – число интервалов (после объединения). M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6.
Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
Интервалы
Mi(Практ)
Mi(теор)
(Mi-Mi(теор))^2
…../Mi(теор)
a(i)
b(i)
730,644
735,356
2
2
9
1,29
735,356
740,068
8
5
740,068
744,780
6
13
49
3,88
744,780
749,492
18
21
9
0,43
749,492
754,204
35
25
100
4,01
754,204
758,916
12
21
81
3,89
758,916
763,628
11
12
1
0,08
763,628
768,340
6
5
1
0,14
768,340
773,052
2
2
X^2набл
13,71
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.
Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a.
Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.
Информация | ||
| ||
|
|