О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и
об упущенных возможностях
Д. Фукс
Сколько
раз каждому из вас доводилось раскрывать скобки в произведении? Тысячи, а может
быть, десятки тысяч? Если и есть в этом занятии что-нибудь привлекательное, так
это надежда, что результат умножения, после приведения подобных членов, примет
благоприятный вид, как, скажем,
(a + b)(a – b) = a2 – b2,
(1 – a)(1 + a + ... + an ) = 1 –
an+1.
Ниже
пойдёт речь о подобных равенствах, только гораздо менее очевидных и гораздо
более глубоких. Они составляют результат более чем двухсотлетней работы
крупнейших математиков мира. Своим читателям я посоветую вооружиться ручкой и
бумагой и повторять за мной все выкладки: это поможет не только понять
содержание статьи, но и оценить степень нетривиальности её результатов.
1. Тождество Эйлера
В
середине XVIII века – дело было в 1748 году или несколькими годами раньше –
Леонард Эйлер заинтересовался коэффициентами многочлена
φn(x)
= (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – xn).
Он
раскрыл скобки в произведении – и получил поразительный результат. Проделаем
эту выкладку и мы: