Методы расчета электрических полей

В методе эквивалентных зарядов возникают следующие проблемы, связанные друг с другом:

Размещение эквивалентных зарядов и контурных  точек;

Проблема обусловленности СЛАУ.

Определитель матрицы СЛАУ равен нулю, если она имеет два одинаковых столбца или строки. Если же два столбца или две строки не одинаковы, но близки друг к другу, то определитель матрицы отличен от нуля, но очень мал. Его значение тем меньше, чем меньше отличия соответствующих  строк или столбцов.

В соответствии с этим, при сближении строк или столбцов исходной матрицы, будут возрастать коэффициенты матрицы, обратной к рассматриваемой. Будет возрастать и норма обратной матрицы.

В линейной алгебре вводится понятие числа обусловленности N матрицы равного произведению норм прямой и обратной матриц

N=||A-1||×||A||.

При сближении двух строк или столбцов матрицы, число обусловленности N возрастает.

Рассмотрим теперь СЛАУ, записанную в матричной форме:

A×X=U,

где X и U –соответственно, векторы неизвестных и правых частей.

Пусть правая часть U известна точно, а матрица A получает некоторое приращение DА. Тогда решение также несколько изменится. Обозначим его приращение через DХ. Это можно записать как

(A+DA)(X+DX)=U.

Если раскрыть скобки и пренебречь величиной DА×DХ, то получим

DХ»А-1 DАХ.

Переходя к нормам, получим:

.

Смысл этого выражения состоит в том ,что относительная погрешность решения   пропорциональна относительному изменению коэффициентов матрицы А, причем коэффициент пропорциональности равен числу обусловленности матрицы А.

Системы уравнений с большим числом обусловленности N называются плохо обусловленными. Для них небольшим изменениям коэффициентов матрицы соответствуют большие изменения решения.

Теперь перенесем изложенные результаты на МЭЗ. Предположим, что расстояния от отдельных ЭЗ до каких-либо двух контурных точек близки. Это приводит к тому, что два столбца в матрице СЛАУ близки между собой и число обусловленности матрицы может быть весьма велико. В этом случае полученные значения ЭЗ очень сильно зависят от выбранных координат контурных точек. Поэтому если координаты ЭЗ и КТ выбраны неудачно, то решение может иметь осциллирующий знакопеременный характер, что не соответствует физической постановке задачи.