Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа
Федеральное
агентство по образованию
Государственное
образовательное учреждение высшего
профессионального
образования
«Поморский
государственный университет имени М.В.Ломоносова»
Кафедра
методики преподавания математики
Работа допущена к защите
Заведующая кафедрой
_________
«__»_____________2008 г.
Выпускная квалификационная работа
Методика
формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и
начал анализа
Архангельск
2008
Содержание
Введение
Глава 1 Тригонометрические уравнения
и неравенства в школьном курсе математики.
1.1 Этапы развития тригонометрии как
науки
1.2 Содержание и анализ материала по
тригонометрии в различных школьных учебниках
1.3 Роль и место тригонометрических
уравнений и неравенств в школьном курсе математики
1.4 Виды тригонометрических уравнений
и методы их решения
1.5 Тригонометрические неравенства и
методы их решения
Глава 2 Формирование умений и навыков
решения тригонометрических уравнений и неравенств.
2.1 Основы формирования умений,
необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств
2.2 Методика формирования у учащихся умений
решать тригонометрические уравнения
2.3 Методика формирования у учащихся умений
решать тригонометрические неравенства
2.4 Эксперимент, его проведение и
обработка результатов
Заключение
Литература
Введение
В настоящее время
основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на
приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план
выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие
учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может
конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.
Уже несколько десятилетий
тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не
существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной
школы, но и в алгебру и начала анализа.
Исторически сложилось, что
тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном
курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук.
Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из
важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.
Тригонометрические
уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики
средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам
учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы
при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и
прикладного характера.
В школьном математическом
образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны
несколько направлений:
1.
Решение уравнений
и неравенств;
2.
Решение систем уравнений
и неравенств;
3.
Доказательство
неравенств.
Анализ учебной,
научно-методической литературы показывает, что
большое внимание
уделяется первому и второму направлениям.
Требованием нашего
времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении
математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования,
возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических
неравенств в этом плане достаточно широки.
Так же следует заметить,
что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для
систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по
тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы
преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность
установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения,
равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования
алгебраических выражений и т.д.).[1]
Иначе говоря,
рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств
предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.
Актуальность
исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических
уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 –
11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и
неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с
рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача –
формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида,
развивая тем самым общие тригонометрические представления.
Цель исследования: Разработать
методику, направленную на формирование у учащихся умений решать
тригонометрические уравнения и неравенства.
Объект исследования:
процесс обучения математике.
Предмет исследования: методика
формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и
неравенства.
Гипотеза исследования: Если
выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений
и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать
качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Под осознанным и
качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения,
осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при
реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической
отработки умений, т.е. изучение тригонометрии должно опираться как на
логическую, так и на образную составляющие мышление, при этом учащимся должны
быть предоставлены возможности для дифференциации и индивидуализации.
В процессе исследования и
проверке достоверности гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Провести анализ
психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме
исследования.
2. Выявить роль
тригонометрических уравнений и неравенств в обучении математики.
3. Выделить основы
формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и
неравенств.
4. Классифицировать
методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
5. Разработать методику
формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и
неравенства.
6. Провести
экспериментальное исследование разработанной методики.
Для решения поставленных
задач были использованы следующие методы исследования:
1. Анализ
психолого-педагогической и методической литературы.
2. Анализ
учебно-методических пособий, учебников, дидактических материалов.
3. Наблюдения, беседы с
учителями.
4. Педагогический
эксперимент.
Структура работы. Работа
состоит из двух глав, введения и заключения. Во введении подчеркнута
актуальность изучения проблемы. Первая глава посвящена рассмотрению значимости
тригонометрического материала в школьном курсе математики, классификации
тригонометрических уравнений и неравенств, а так же методов их решений. Во
второй главе описаны основные умения, необходимые при решении
тригонометрических уравнений и неравенств и методика формирования умений решать
тригонометрические уравнения и неравенства. Список литературы включает 32 источника.
Глава 1 Тригонометрические
уравнения и неравенства в ШКМ
1.1 Этапы
развития тригонометрии как науки
Тригонометрия является
одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших
окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой
древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К.
Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли
высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и
тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).
Само название
«тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение
треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.
Научная разработка
тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis
infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей
аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных
формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов —
соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в
них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать
тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга,
т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу.
Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций
с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил
обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок,
которые допускались почти во всех европейских учебниках математики.
Сочинение Л. Эйлера в
дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых
руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные
основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом:
«Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать
треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к
решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма
сложным путём, учение о функциях отсутствует.
Таким образом,
тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и
применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики
позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение
отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и
распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге)
для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических
функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории
тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий
вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был
разработан Ньютоном.[25]
Современный вид тригонометрия
получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера
(1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как
числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за
единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал
окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях,
вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил
несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в
его трудах впервые встречаются записи . Он
также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от
комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники
тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
Аналитическое (не
зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое
Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И.
Лобачевского.
Современная точка зрения
на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом
обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу
математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические
процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов,
колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое
периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы
простейших синусоидальных (гармонических) колебаний. Если в начале развития
тригонометрии соотношение лишь выражало
зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного
прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это
отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с
происходящей при этом интерференцией.
Таким образом, на
первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения
вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление
элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Но в
современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет
изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии
был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физики
звуковых, световых и электромагнитных волн.
В этот период даны
обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения
для , где n – натуральное число, и др. Функции и
рассматриваются теперь как суммы степенных
рядов:
Почти также изложен и
учебник В. Никитина и П. Суворова.
Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём
учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами»,
1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том
виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных
тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение
введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются
на практике.
В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская
тригонометрия,— говорит автор,— есть наука, имеющая предметом из трёх данных и
числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие
его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение
треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и,
наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической
тригонометрии.
Шаг вперёд делает академик
М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для
руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения
тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в
прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и
распространением его на углы любой величины. [24]
1.2 Содержание
и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках
Анализ материала, посвящённого
решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала
анализа» для 10-11 классов под ред. А.Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и
начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш.А. Алимова и др. свидетельствует,
что различные виды тригонометрических уравнений и неравенств представлены в
пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача –
формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида.
Рассмотрим содержание
материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за
курс 10 – 11 класс средней школы, с целью его сравнения, анализа и
формироваания наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном
курсе математики.
Башмаков М.И. Алгебра
и начала анализа. 10-11
Учебник разбит на 6 глав.
Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты,
которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение
тригонометрических уравнений и неравенств» представлен в главе III «Тригонометрические функции» после
изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».
Четвёртая глава «Показательная
и логарифмическая функции» и пятая глава «Интеграл и его применение» не
содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе «Уравнения
и неравенства» встречаются и тригонометрические уравнения, и тригонометрические
неравенства.
Обращаясь в главе III к теме «Тригонометрические функции»
М.И. Башмаков считает нужным повторить такие темы как: измерение углов;
соотношения в треугольнике; вращательное движение; техника вычислений. Далее
вводятся: определения и простейшие свойства тригонометрических функций; формулы
приведения; значения тригонометрических функций.
Причём, здесь же вводится
основное тригонометрическое тождество.
Здесь же М.И Башмаков
рассматривает вопрос решения простейших тригонометрических уравнений по
тригонометрической окружности.
Следующие разделы данной
темы «Исследование тригонометрических функций» и «Тождественные преобразования».
Лишь после этого в разделе «Решение уравнений и неравенств» вводятся различные
виды уравнений и некоторые виды неравенств. И соответственно здесь же говорится
о способах и методах их решения.
Схема изучения
темы «Решение тригонометрические уравнений и неравенств» определяется следующим
образом: функция → уравнения → преобразования.[3]
Мордкович А.Г. Алгебра
и начала анализа. 10-11
Учебник разбит на 8 глав.
В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс
изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические
функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на
координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические
соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по
тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после
изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются
свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические
уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего
тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса,
арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения:
разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных
тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после
изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».
Здесь схема изучения
выглядит следующим образом: функция → уравнения → преобразования.
С точки зрения применения
учебник Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он
содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся
очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в
классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь
на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на
уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.
К недостаткам можно
отнести не очень большое количество упражнений по этой теме в самом учебнике.[19]
Колмогоров А.Н. Алгебра
и начала анализа
Учебник содержит 4 главы.
Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и
неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются
тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы
тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные
свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого
вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно»
с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не
называет методов решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их
решения. Тоже касается и решения тригонометрических неравенств.
Таким образом, схема
изучения выглядит так: преобразования → функции → уравнения.
Стоит отметить, что учебник
содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так и более
сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания
для учащихся.
С точки зрения изложения
теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для
самостоятельного изучения.[14]
Анализ содержания набора
задач в теме «Тригонометрические уравнения» приводит к следующим выводам:
1) преобладающими
являются простейшие тригонометрические уравнения, решение которых основано на
определениях соответствующих функций в понятиях арксинуса, арккосинуса, арктангенса
числа;
2) фактически отсутствуют
тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на свойстве
ограниченности синуса и косинуса;
3) если говорить о связях
приемов решения тригонометрических уравнений с приемами тождественных
преобразований тригонометрических и алгебраических выражений, то следует
отметить, что эти приемы в учебном пособии представлены бедно и однообразно.
Рассматриваются приемы тождественных преобразований:
а) тригонометрические
выражения:
- прием использования
основного тригонометрического тождества;
- прием использования
формул двойного и половинного аргументы;
- прием преобразования
суммы тригонометрических выражений в произведение;
б) алгебраических
выражений:
- прием разложения на
множители;
- прием преобразования
тригонометрического выражения, представляющего собой однородный многочлен
относительно синуса и косинуса.
Использование указанных
приемов приводит к тригонометрическим уравнениям, которые условно можно
разделить на следующие виды:
а) сводящиеся к
квадратным относительно тригонометрической функции;
б) сводящиеся к
дробно-рациональным относительно тригонометрической функции;
в) сводящиеся к
однородным;
г) сводящиеся к виду , где -
тригонометрическая функция . [16, c/55]
1.3 Роль и
место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ
Тригонометрия традиционно
является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот
курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя
целенаправленную специальную подготовку.
Анализ школьных учебников
по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и
неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.
Изучению темы «Решение
тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование
тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических
функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы
знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.
Опыт преподавания
математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к
ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении
других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других
задач.
Так, например, решение
уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после
элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по
формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении
тригонометрических неравенств. Неравенства вида , в
принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в
правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы
значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать
затруднений у учащихся.
Мы видим, что именно здесь
школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью
нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно
простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении
тригонометрических неравенств.
При таком подходе
изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул
преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений
и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование
тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических
функций».
Если же
тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование
тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется
совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических
у
