Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

ПО КУРСУ: Чисельні методи

на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»

Зміст

Постановка задачі

Вступ

1 Теоретична частина

2 Програмна реалізація

Список використаної літератури

Постановка задачі

Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння

Вступ

Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язок диференціального рівняння  y=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x)=y.Чисельне розв’язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y-розв’язку рівняння y=(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .

                        y                                                        

                       yn                                                                                   *

                       y3                                      *

                       y2                                        *

                       y1                             *

                       y0                 *

                       O            x0     x1    x2     x3                   xn              x

На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x =x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки

( h > 0 ) .

1 Теоретична частина

Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів  потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо  неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:

1    

2    

3       ();

4    

5    

Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів

 оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних  кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді

 .

За формулою Рунге

Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

де yi  – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i  – із кроком h/2; p  - порядок методу; y(x2i)  - точний розв’язок задачі.

Метод прогнозу і корекції

Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу

,

де наближене значення . Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . Тому використовує-мо схему корекції

Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо

  -   похибка корекції,

  - похибка прогнозу .

Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією .На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення . При заданому =0,0000001, наприклад, .

Віднімаючи з  співвідношення  , маємо

  .

Уточнюємо розв’язання, виходячи з формули :

Ця формула  завершає схеми прогнозу і корекції .

Метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач

Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку

,

що задовольняє такі крайові умови:

Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n... Нехай Апроксимуємо  і  у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями ,  і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями , .

Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:

Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.

Введемо позначення:

Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:

Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:

Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.

2 Програмна реалізація

Реалізація пакетом Maple

> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;

Ø dsolve[interactive]( ss );

Список використаної літератури

1.     Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.

2.     Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.

3.     Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл. 

4.     Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.