Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска

Л. Курляндчик, Г. Розенблюм

Какое иррациональное число самое «старое»? Несомненно, √2. Мы не знаем точно, кто первый доказал иррациональность этого числа, однако мы убеждены, что сделано было это примерно так.

Доказательство первое

Допустим, что число √2 рационально. Геометрически это означает, что диагональ квадрата длины c соизмерима с его стороной длины a, то есть найдутся отрезок длины d и целые числа m и n такие, что c = dm, a = dn. Отметим m–1 точек на диагонали AC и n–1 точек на стороне DC, делящие эти отрезки на кусочки длины d. Отложим на [AC] отрезок AK: |AK| = |AD|; на [DC] — отрезок DE: |DE| = |KC|. Точки K и E попадут в отмеченные точки (см. рис.). Докажем, что треугольники ACD и KEC подобны. Угол C у них общий. Достаточно, значит, проверить равенство