Математические последовательности. Предел функции
Задание 1
Вычислите и последовательности .
Решение.
Рассмотрим
последовательность .
для
любого натурального
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает,
что последовательность имеет верхнюю точную
грань: .
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это
означает, что нижняя грань последовательности не существует.
Ответ. не существует
Задание 2
Пользуясь определением
предела последовательности, докажите, что .
Доказательство.
Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой,
что при выполняется неравенство .
Используя определение
предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число .
Если взять , то для всех будет
выполняться неравенство . Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением
предела функции, докажите, что .
Доказательство
Число называется пределом функции при , если для
любого числа существует число такое,
что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Используя определение
предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Положим .
Если взять , то для всех ,
удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел .
Решение.
Ответ.
Задание 5
Вычислите предел .
Решение.
Ответ.
Задание 6
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 7
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 8
Вычислить предел .
Решение
Ответ.
Задание 9
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 10
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 11
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 12
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 13
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 14
Вычислить предел .
Решение.
при
функция является
бесконечно малой
для
любого функция является
ограниченной.
Известно, что
произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно
малая функция. Следовательно, функция является
бесконечно малой при . Это означает, что .
Ответ.
