Математические методы и модели
Контрольная
работа
По дисциплине
«Математические методы и модели»
1.
Математическое
моделирование задач коммерческой деятельности
Провести моделирование
процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора
автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести
сравнение автомашин.
Таблица 1
Модель
автомобиля
|
Снаряженная масса, кг
|
Длина,
мм
|
Мощность двигателя, л.с.
|
Максимальная скорость, км/ч
|
Рабочий объем двигателя,см3
|
Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км
|
Емкость топливного бака, л.
|
Цена, $.
|
HYUNDAI
Accent
|
1 080
|
4 260
|
102
|
181
|
1 495
|
7,5
|
45
|
12 920
|
HYUNDAI
Getz
|
1 108
|
3 825
|
106
|
180
|
1 599
|
6,0
|
45
|
15 990
|
HYUNDAI
Elantra
|
1 340
|
4 520
|
105
|
182
|
1 599
|
7,4
|
55
|
18 690
|
HYUNDAI
Sonata
|
1 590
|
4 747
|
133
|
200
|
1 997
|
9,0
|
65
|
26 650
|
HYUNDAI
Matrix
|
1 223
|
4 025
|
103
|
170
|
1 599
|
8,0
|
55
|
19 190
|
HYUNDAI
Trajet
|
1 731
|
4 695
|
140
|
179
|
1 975
|
9,1
|
65
|
25 690
|
Теперь необходимо
сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение
автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее
существенные показатели ( табл. 2)
Таблица 2
Показатели
|
Обозначение
|
Ед.измерения
|
Снаряженная масса
|
М
|
кг
|
Длина
|
Дл
|
мм
|
Мощность двигателя
|
МД
|
л.с
|
Максимальная скорость
|
Vmax
|
км/ч
|
Раб.объем двигателя
|
Ро
|
см3
|
Расход топлива по смеш. циклу на 100 км
|
РТ
|
л
|
Емкость топливного бака
|
Еб
|
л
|
Цена
|
Ц
|
$
|
Сопоставим эти показатели
с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент
которой определяется таким образом:
После заполнения матрицы
элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю:
где n – количество показателей, n=8
Правильность заполнения
матрицы определяется равенством
Затем определяем
коэффициенты весомости по формуле
Следует заметить, что
Таблица 3
Показатель
|
М
|
Дл
|
МД
|
Vmax
|
Pо
|
РТ
|
Еб
|
Ц
|
Сумма
|
Мi
|
Ri
|
М
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
2
|
0
|
6
|
0,094
|
6
|
Дл
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
0,031
|
8
|
МД
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2
|
0
|
1
|
0
|
9
|
0,141
|
3
|
Vmax
|
1
|
2
|
0
|
1
|
0
|
0
|
2
|
0
|
6
|
0,094
|
5
|
Ро
|
1
|
2
|
0
|
2
|
1
|
0
|
2
|
0
|
8
|
0,125
|
4
|
РТ
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
1
|
2
|
0
|
13
|
0,203
|
2
|
Еб
|
0
|
2
|
2
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
5
|
0,078
|
7
|
Ц
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
1
|
15
|
0,234
|
1
|
|
64
|
1
|
|
Распределим коэффициент
показателей по рангу Ri. На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь
вид:
1)
Ц – цена, $;
2)
Рт – расход
топлива на 100 км
3)
МД – мощность двигателя,
л.с.;
4)
Ро – рабочий
объем двигателя, л.;
5)
V мах – максимальная скорость, км/ч.;
6)
М – снаряженная
масса, кг
7)
Еб – емкость топливного
бака, л.;
8)
Дл – длина, мм
На основании полученных
результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей.
Таблица 4
Показатель
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Mi
|
Ц
|
26 650
|
25 690
|
19 190
|
18 690
|
15 990
|
0,234
|
Рт
|
9,1
|
9,0
|
8,0
|
7,4
|
6,0
|
0,203
|
МД
|
103
|
105
|
106
|
133
|
140
|
0,141
|
Ро
|
1 599
|
1 599
|
1 599
|
1 975
|
1 997
|
0,125
|
На основании данных табл.
4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам
подходящих автомобилей:
HYUNDAI Sonata
и HYUNDAI Trajet
F (HYUNDAI
Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83
F (HYUNDAI
Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88
Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F
(HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
Вывод: Сравнив множество
показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
2.
Методы и
модели линейного программирования.
Фирма производит два
безалкогольных широко популярных напитка " Колокольчик" и
"Буратино". Для производства 1 л. " Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для " Буратино" – 0,04 ч, а расход
специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л
" Колокольчика"
составляет 0,25 руб., а " Буратино" – 0,35 руб.
Определите ежедневный
план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от
их продажи.
Решение:
1)
Составим
математическую модель данной задачи:
Пусть X1 – количество " Колокольчиков";
Х2 –
количество " Буратино", тогда как необходимо определить ежедневный
план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от
их продажи, то целевая функция:
F(Х1,Х2) = 0,25Х1+
0,35Х2 мах
Система ограничений:
xj
2)
Графическое
решение задачи:
Представим каждое
неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система
ограничений запишется в виде:
1)
0,02х1+0,04х2=24
2)
0,01х1+0,04х2=16
3)
х1=0
4)
х2=0
Преобразуем систему
неравенств ( выразим Х2 через Х1)
Построим на плоскости ( х1,х2)
область допустимых значений согласно системе неравенств
x2=24-0,5x1
х2=16-4х1
Многоугольником
допустимых решений является треугольник АВС. Построим вектор N =
Перемещаем линию уровня
перпендикулярно вектору N в
направлении вектора N до опорного
положения.
Вершина в которой целевая
функция принимает максимальное значение это вершина
С (20;13). Следовательно,
ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный
доход от продажи составляет:
f(х1;х2)=
0,25*20+0,35*13=9,55
3)
Классификация
математической модели:
·
По общему
целевому назначению: прикладная модель;
·
По степени
агрегирования объектов: микроэкономическая модель;
·
По конкретному
предназначению: оптимизированная модель;
·
По типу
информации: идентифицированная модель;
·
По учету фактора
времени: статистическая модель;
·
По учету фактора
неопределенности: детерминированная модель;
·
По типам
математического аппарата: линейная модель;
·
По типу подхода к
изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель.
Вывод: Ежедневный план
производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от
продажи составляет 9,55 л.
3. Методы и модели
теории игр
Определите максимальные
стратегии игроков и седловую точку игры
Игрок
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
А1
|
5
|
8
|
7
|
6
|
3
|
А2
|
10
|
12
|
4
|
7
|
2
|
А3
|
15
|
10
|
8
|
7
|
4
|
А4
|
10
|
7
|
8
|
12
|
6
|
А5
|
7
|
10
|
11
|
3
|
5
|
А6
|
7
|
2
|
3
|
12
|
4
|
Решение: Строки матрицы
соответствуют стратегиям Аi
(i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы –
стратегии Вi,то есть
стратегии, которые выбирает игрок В.
·
Игрок А выбирает
такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш :
,
где а – нижняя
цена игры (гарантированный выигрыш игрока А)
·
Игрок В выбирает
такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш
-
минимизируется:
,
где - верхняя цена игры.
Составим расчетную
таблицу.
коммерческий
математический моделирование линейный программирование
1 2
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
А1
|
5
|
8
|
7
|
6
|
3
|
3
|
А2
|
10
|
12
|
4
|
7
|
2
|
2
|
А3
|
15
|
10
|
8
|
7
|
4
|
4
|
А4
|
10
|
7
|
8
|
12
|
6
|
6
|
А5
|
7
|
10
|
11
|
3
|
5
|
3
|
А6
|
7
|
2
|
3
|
12
|
4
|
2
|
|
|
12
|
11
|
12
|
6
|
6
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот выигрыш гарантирован игроку 1, как бы ни играл второй
игрок.
Нижняя цена игры
составляет 6
Минимальный проигрыш
второго игрока
Получили, что первый
игрок (А) должен выбрать пятую (А4) стратегию, а второй игрок (В)
должен выбрать четвертую (В5) стратегию.
Итак, нижняя цена игры,
или максимальный выигрыш: , верхняя цена игры, или
минимальный выигрыш:
Нижняя и верхняя цена
игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий
(А4;В5).
Следовательно, игра имеет седловую точку (А4;В5).
Вывод: Игрок А должен
выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого
игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а
второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А4;В5).
/