Линейная алгебра

Обратная матрица.

Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I

Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA¹0.

где Aij - алгебраические дополнения элементов aij матрицы A.   

  Свойства:  (A-1)-1=A,

(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA

В частности:

Решение квадратной системы:

Ax=b

если |A|¹0, то x=A-1b

Матричные уравнения.

XA=B Þ X=BA-1

AX=B Þ X=A-1B

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина определителя не изменится, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

2. Если матрица B получена из матрицы A  перестановкой двух каких-либо ее строк (столбцов*), то detB=¾detA.

3. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца*) определителя можно вынести за знак определителя.

4.* Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

6.* Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк  (столбцов), то определитель равен 0.

7. Если матрица имеет треугольный вид, то ее определитель равен произведению элементов на главной диагонали.

*-неизученные свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системой решений называется система из (n-r) линейно независимых решений, где n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:

ФСР: l1,l2,...,ln-r

ФСР может быть бесконечное множество.

Если l1,l2,...,ln-r-ФСР однородной системы, то

xоо = с1l1+с2l2+...+сn-r ln-r

xон = xоо + xчн

Метод Крамера:

Если D=0 и не все Dxj=0, то система несовместна.

Если D¹0, то система имеет единственное решение,

где Dxj - определитель, полученный заменой j-го столбца в определителе системы столбцом свободных членов.