Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

С.С. Трахименок, Новосибирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений

Вычисление интегралов - задача, которая до сих пор интересует как физиков, так и математиков.

В настоящей статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по круговой луночке. Эта формула является обобщением теоремы о среднем.

Для того чтобы построить подобное представление в виде ряда, понадобилось ввести (§ 1) некую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом пространства типа Бергмана [1]. Введенная последовательность изначально не является ортогональной, поэтому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базисных функций для того, чтобы применить метод Грама-Шмидта.

1.  Области,  функциональное пространство, полиномиальные последовательности

Ограниченную область S в R2 назовем круговой луночкой, если ее граница Г состоит из двух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол между Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. С помощью биполярных координат [2]