Криволинейный интеграл первого и второго рода
Криволинейный интеграл
первого рода
Криволинейный интеграл
второго рода
1.
Задача
приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного
интеграла по координатам.
2.
Свойства
криволинейного интеграла (рис. 1).
3.
Вычисления
а)
б)
Рис. 1
Займемся обобщением
понятия определенного интеграла на случай когда путь
интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу
силы при перемещении
точки от к
1. Разобьем на n
частей :
Обозначим вектор- хорда дуге.
Пусть предположим,
что на тогда
Работа вдоль дуги вычисляется как
скалярное произведение векторов и
Пусть
Тогда:
Работа
Если , то этот предел
примем за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки
,-не числа, а
точки концы линии .
1.
Свойства:
10 определяется
а) подынтегральным
выражением
б) формой кривой
интегрирования.
в) указанием
направления интегрирования (рис. 2).
Рис. 2
-можно рассматривать
как интеграл от векторной функции
Тогда - если -замкнутая то -называют
циркуляцией вектора по контуру .
30
40 не зависит от
того какую точку взять за начало
Вычисление
криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы
вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
Рис. 3
-гладкая кривая.
1.
Если
-непрерывны, -непрерывные.
-непрерывны по , то
Пределы А и В не
зависят ни от способа деления на , ни от вектора
Следовательно: .
2. В случае:
1.
Формула Грина.
2.
Условие независимости криволинейного интеграла от
пути интегрирования.
3.
Полный дифференциал.
Связь между
определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D,
замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).
интеграл
криволинейный грин формула
Рис. 4
непрерывны на
-
определена и непрерывна в замкнутой области D.
- определена и
непрерывна в замкнутой области D.
Тогда
Аналогично
-Формула
Грина.
В частности: вычисление
площадей фигур с помощью двойного интеграла.
Пример.
Условие независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования
Рис. 5
- непрерывные
частные производные в (рис. 5).
Каковы условия
независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
Теорема:
-непрерывны в
области , тогда для
того, чтобы
в (рис. 6)
Рис. 6
Пусть
Обратно
Т.д.
Пусть из
непрерывности и
-окрестность точки такая что в
предположение неверно.
ч.т.д.
Замечание.
Определение.
Функция -градиент
которой есть вектор силы называется потенциалом вектора .
Тогда
Вывод:
Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути
интегрирования.
Литература
1. Ильин
В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989
г.
2. Виноградова
И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому
анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250
летию МГУ 2005 г.
3. Шилов
Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу
К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.