Теоретическая часть

1.Основные непрерывные распределения

1). Равномерное распределение

СВ Х распределена равномерно на отрезке [a; b] (X~R(a; b)) , если плотность вероятности имеет вид:

mx= (a+b)/2

Dx = (b-a)2/12 =σx2

σx=(b-a)/2· √3

2) Экспоненциальное распределение

            λe-λe, x ≥ 0

fx(x)= 

            0, x < 0

              1-e-λx , x ≥ 0

Fx (x)=

                      0, x < 0

M[X]= ∫x fx(x) dx = ∫x λe-λxdx = 1/x∫te-tdt = 1/x

mx =1/λ

D[X]= M[X2] – (mx)2 = ∫x2 λe-λxdx- (1/x)2

Dx= 1/λ2

σ x= √Dx= 1/x

Этим распределением описываются многие важные величины: время безотказной работы изделия, длина промежутка времени между звонками на телефонной станции, время обслуживания клиента в системе массового обслуживания. При этом параметр λ имеет следующий смысл: если х- время обслуживания клиента (x ≥ 0), то mx=M[X] среднее время обслуживания клиента

mx=1/λ; λ=1/mx – ожидаемое количество обслуживания клиентов в единицу времени.

T~E(λ)

P(T1 ≤ T ≤ T2)  = FT(T2) – FT(T1) = (1-exp{-λ ·T2}) – (1-exp{-λ ·T1}) =

= exp{-λ ·T1} – exp{-λ ·T2}

0 ≤ T1 < T2

3).Нормальное (гауссовское) распределение.

CВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и D>0, если ее плотность вероятности имеет следующий вид

fx(x)=(1/√2π·D) exp{-(x-a)2/ D}

X~N(a; D)

M[X]= mx= a

D[X]= Dx= σx2= D

X~N(mx; σx2)         σ1        σ2

σ2> σ1

m2> m1

Функция распределения нормальной СВ имеет следующий вид:

Fx(x)= Ф((x- mx)/ σx), где

Ф(z)= (1/√2π)∫exp{-x2/2}dx – интеграл вероятности или функция Лапласа

Замечание: часто вместо функции Ф(z) используется функция

Ф0(z)= (1/√2π)∫exp{-x2/2}dx

Связь между функциями следующая:

           0,5+ Ф0(z), если z > 0

Ф(z)=

           0,5– Ф0(z), если z < 0

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1)     0 ≤ Ф(z) ≤ 1

2)     Ф(z) возрастает

3)     Ф(z)=1, если z > 5

4)     Ф(z)=0, если z < -5

Вычисление вероятности попадания гауссовской величины в отрезок

X~N(mx; σx2)

Fx(x) = Ф((x- mx)/ σx) = Fx(x)= Ф((x- mx)/ √Dx)

P(α ≤ X ≤ β) = Fx(β) – Fx(α) = Ф((β - mx)/ σx) – Ф((α - mx)/ σx)

Замечание: пусть  mx=0, σx2=1, тогда Х имеет распределение

X~N(0; 1) – стандартное нормальное распределение

Fx(x) = Ф(x)

Следовательно функция Лапласа есть распределение стандартной нормальной СВ

P(α ≤ X ≤ β) = Ф(β) – Ф(α) – для X~N(0; 1)

2. Распределений хи-квадрат.

Пусть Uk, k= 1,n, - набор из n  независимых нормально распределенных СВ, Uk~N(0; 1). Тогда СВ

Хn=∑Uk2 имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, что обозначается как Хn~χ2(n).

Число χ2(n) находится по таблице распределения χ2. Это число зависит от степеней свободы n и от уровней значимости α.

Стандартный α=0,05

3.Выборка

Х1, Х2, …, Хn независимые одинаково распределенные СВ.

Такая последовательность называется выборкой объема n.

Пусть в результате конкретного опыта СВ Х приняла какое-то значение

Х1→х1, Х2→х2, …, Хn→хn

Хk – реализация СВ  Хk в k-м опыте k=1+n

{ x1, x2, …, xn} – реализация выборки объема n

По условию СВ Х1, Х2, …, Хn, которые называются элементами выборки одинаково распределены, т.е. функция распределения Fx (x) = Fx (x) для всех k, i = 1,…,n

Fx (x) = F1 (x) = F(x)  – функция распределения любого элемента выборки

Выборка соответствует закону распределения F(x)

f(x)= dF(x)/dx – плотность вероятности, которой соответствует выборка.

M[Xk] = M[X1] =∫x f(x)dx = a =const

D[Xk] = D[X1] =∫x2 f(x)dx - a2 = σ2 = const

(a; σ2 ) – параметры выборки

Оценивание математического ожидания и дисперсии по выборке

{ x1, x2, …, xn} – реализация выборки.

Оценкой мат. ожидания а по этой выборке называется величина:

Xn = 1/n ∑xk – выборочное среднее

Реализацией выборки называется неслучайный вектор zn = col(x1,…, xn), компоненты которого являются реализации соответствующих элементов выборки Xi, i=1,n.

Реализацию выборки можно так же рассматривать как последовательность

x1,…, xn из n реализаций одной и той же СВ Х, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений.

Т.о. Хn= аn – оценка для а

Замечание: можно показать, что оценка Хn обладает следующим свойством:

1)     Хn→a при n → ∞ (состоятельность оценки Хn)

2)     M[Xn]=a (несмещенность оценки)

Выборочной дисперсией называется величина

Sn2= (1/(n-1)) ∑(xk – Xn)2

Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии

Sn2=σ2

σn = √ Sn2 = Sn – оценка среднего квадратичного отклонения.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения.

Упорядочить элементы выборки по возрастанию

Мn(A) – случайное число появлений события A в серии из n испытаний

Wn(A) = Мn(A)/n – частота события А в серии из n испытаний

Рассмотрим выборку Zn, порожденную СВ Х с функцией распределения  Fx(x). Определим для каждого х Є R1 событие Aх= {X ≤ x}, для каждого P(Aх) = Fx(x).  Тогда Мn(Aх) – случайное число элементов выборки Zn, не превосходящих х

Определение. Частота Мn(Aх) события Aх как функция х Є R1 , называется выборочной (эмпирической) функцией распределения СВ Х и обозначается

Fn(x) = Мn(Aх).

Для каждого фиксированного х Є R1 СВ Fn(x) является статистикой, реализациями которой являются числа 0, 1/n, 2/n,…,n/n, и при этом

P{Fn(x) = k/n}= P{Мn(Aх)=k}, k= 1,n.

Любая реализация Fn(x) выборочной функции Fn(x) является ступенчатой функцией. В точках х(1)<…< х(n), где х(k) – реализация порядковой статистики X(k), функция Fn(x) имеет скачки величиной 1/n и является непрерывной справа.

Свойства.

1)     M [Fn(x)]= F(x), для любого х Є R1 и любого n ≥ 1

2)     Sup| Fn(x)- F(x)| → 0 при n → ∞

3)     dn(x) = M[(Fn(x)- F(x))2] = F(x)(1-F(x))/n ≤ 1/4n

4)     (Fn(x)- F(x))/√dn(x) →U при n → ∞, где СВ U имеет распределение

     N(0; 1)

Гистограмма

1)     Построить вариационный ряд выборки, т.е. элементы выборки упорядочить по возрастанию {x1,…, xn} → {x1,…, xn}

     х(1)<…< х(n)

Промежуток Δ= [x1, xn] называется размахом выборки.

Все наблюдения принадлежат этому промежутку.

2)Группировки выборки.

Для этого размах выборки делится на k промежутков одинаковой длины.

|Δi| - длина промежутка Δi

|Δ1|=|Δ2|=…=|Δn|=|Δ|/k

nm – число наблюдений попавших в интервал

Группировкой выборки называется набор следующего вида.

(Δm; nm) , m=1,…,k – статистический ряд

2)     Построение гистограммы

Для каждого промежутка Δm находится частота

Pm*= nm/n

Над каждым промежутком Δm строится прямоугольник, основанием которого является этот промежуток, а высота равна

hm= Pm*/ |Δm|

Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная верхними основаниями построенных прямоугольников.

Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по выборке.

4.Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных оценок: несмещенность и состоятельность.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений (θ)

Точечной (выборкой) оценкой неизвестного параметра распределения

θ Є Θ называется произвольная статистика Θ(Zn), построенная по выборке Zn и принимающая значение в множестве Θ.

Свойства:

1) Оценка θ(Zn) параметра θ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к θ, т.е. θ(Zn) → θ при  n → ∞ для любого θ Є Θ.

2) Оценка θ(Zn) параметра θ называется несмещенной, если ее МО равно θ, т.е. M[θ(Zn)] = θ для любого θ Є Θ.

5.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра θ Є Θ называется статистика θ(zn), максимизирующая для каждой реализации Zn

функцию правдоподобия, т.е.

θ(zn) = arg max L(zn, θ)

Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия.

Пусть vi, i=1,s, - выборочные начальные моменты. Рассмотрим систему уравнений

vi (θ)= vi, i=1,s

и предположим, что ее можно решить относительно параметров θ1,…, θs, т.е. найти функции θi=φi(v1,…, vs), i=1,s

Решением полученной системы уравнений θi=φi(v1,…, vs), i=1,s, называется оценкой параметра θ, найденной по методу моментов, или ММ-оценкой.

6. Выборочные моменты

Пусть имеется выборка Zn=col(x1,.., xn) которая порождена СВ Х с функцией распределения Fx(x).

Для выборки Zn объема n выборочными начальными и центральными моментами порядка r СВ Х называются следующие СВ:

vr(n) = 1/n∑(xk)r, r =1,2,….;

μ r(n) =  1/n∑(xk- vr(n))r, r =2,3,….;

Выборочным средним и выборочной дисперсией СВ Х называются соответственно:

mX(n)= v1(n) = 1/n∑xk

dX(n)= μ 2(n) =  1/n∑(xk- mX(n))2

7.Проверка гипотезы о законе распределения выборки по критерию согласия К. Пирсона (χ2 - хи-квадрат)

СВ Х имеет распределение χ2 с r степенями свободы. Если ее можно представить в следующем виде Х = ∑Хi2 , где Хi~ N(0; 1)

Х= χ2(r)

Плотность вероятности этой СВ имеет следующий график:

Критическая и доверительная область

Х= χ2(r)

Критической областью значений СВ Х называется промежуток на вещественной оси, в которой СВ Х попадает с некоторой малой вероятностью α.

Это число α называется уровнем значимости критической области.

S – критическая область

P(XЄS) = α<<1

S=R’- S – доверительная область

P(XЄS) = 1-α – близка к 1

Для задания критической области S распределения Пирсона поступают следующим образом:

P(X ≥ χкр2(r)) = α

S = [χкр2(r); +∞)

P(XЄS) = α – по построению

S = [0, χкр2(r)) – доверительная область

Замечание: число χ2(r) находится по таблице распределения χ2. Это число зависит от степеней свободы r и от уровней значимости α.

Стандартный α=0,05

Алгоритм критерия Пирсона

1) Формулировка гипотезы

Н0: имеющаяся выборка соответствует закону распределения F(x)

2) Производится группировка выборки и вычисление частот {Pm*}, m=1÷k

3) Для каждого подынтервала  Δm вычисляется вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой гипотезы

Δm=[zm; zm+1]

Pm= F(zm+1) – F(zm); m=1÷k

4)     Вычисляется статистика критерия Пирсона

gn=(n∑(Pm+ Pm*)2/ Pm)+n(P0+ Pm+1),

где P0+ Pm+1=1-∑ Pm, n-объем выборки

Теорема. Если проверяемая гипотеза Н0- верна, то СВ gn – называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение

gn ~ χ2(r)

r=k+n1- n2-1

k – число интервалов

n1 – число дополнительных интервалов

n2 – число неизвестных параметров распределения F(x), которые были заменены их оценкой.

5)     Принятие решения.

Строится критическая область S

S = [χкр2(r); +∞)

Если gn Є S, то гипотеза отвергается

Если gn Є S, то гипотеза принимается, как не противоречащая данным

Практическая часть

Вариант № 13

Исходные данные:

набор наблюдений

-11,963

-19,197

-8,653

1,416

-16,534

0,409

-2,982

-12,845

-19,371

-16,969

-9,076

-2,590

0,527

-20,332

-5,936

-12,820

-7,841

-6,679

-20,562

-16,534

0,525

-21,010

-7,953

-10,732

-1,374

-12,326

-19,110

-16,415

-16,538

-1,626

-9,033

-6,583

0,031

-9,910

-4,721

-2,234

-2,665

-10,179

-9,175

-0,370

-3,627

0,568

-1,1395

-21,990

-5,854

1,330

-8,380

-16,095

-12,347

-4,892

-9,130

-3,684

-2,105

-15,098

-6,647

-5,758

Информация