Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.
Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО
НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент
группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный
руководитель:
Канд.
физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ
ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных
подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В
работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем
различать знак включения множеств и знак строгого
включения ;
и -
соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- множество всех натуральных
чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых
чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в
частности, ;
примарное
число - любое число вида ;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- единичный элемент и единичная
подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей
порядка группы ;
- множество всех различных простых
делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп
группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы ;
- -ый
коммутант группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская
подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе ,
т.е. -холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы
;
- является
подгруппой группы ;
- является
собственной подгруппой группы ;
- является
максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная
подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является
нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. для
любого автоморфизма ;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
- ядро подгруппы в группе ,
т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в
.
Если
и - подгруппы
группы , то:
- прямое произведение подгрупп и ;
- полупрямое произведение
нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и
изоморфны.
Группа
называется:
примарной,
если ;
бипримарной,
если .
Скобки
применяются для обозначения подгрупп,
порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна
в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует
нормальный ряд, факторы которого либо -группы,
либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее
главный фактор является либо -группой, либо
циклической группой;
нильпотентной,
если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,
если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы
такая, что нильпотентна.
разрешимой,
если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой,
если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми
числами.
Группа
Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой
нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из , что .
Минимальная
нормальная подгруппа группы - неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь
группы - произведение всех минимальных
нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы .
Классы
групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов,
обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е.
классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За
некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех -групп;
- класс всех сверхразрешимых
групп;
Формации
- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов
и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал
группы , т.е. пересечение всех тех
нормальных подгрупп из , для которых .
Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой
группы , факторгруппа по которой
принадлежит . Если -
формация всех сверхразрешимых групп, то называется
сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация
называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс
групп называется наследственным или
замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует,
что и каждая подгруппа группы также
принадлежит .
Произведение
формаций и состоит
из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная
подгруппа группы называется
-абнормальной, если .
Подгруппы
и группы называются перестановочными, если .
Пусть
- максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и
, и обозначают символом .
Пусть
- группа и -
различные простые делители порядка группы .
Тогда группа называется дисперсивной по Оре,
если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа
группы и подгруппа нормальна в для
всех .
Введение
В
своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают
неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были
впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы
говорим, что подгруппа группы квазинормальна в ,
если перестановочна с любой подгруппой
из (т.е. для
всех подгрупп из ).
Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и
что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в
частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место ,
а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные
подгруппы группы , которые являются
модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно,
что если подгруппа группы нормальна в ,
то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:
Таким
образом, условие является еще одним
обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе,
где в частности, было доказано, что: Группа является
разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы
удовлетворяют условию . В дальнейшем, в
работе подгруппы, удовлетворяющие условию были
названы -нормальными. В этой же работе была
построена красивая теория -нормальных
подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с
заданными системами подгрупп.
В
данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое
одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение.
Подгруппа группы называется
слабо квазинормальной в подгруппой, если
существует такая подгруппа группы , что и
, -
квазинормальные в подгруппы.
Следующий
простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа
не является ни квазинормальной, ни -нормальной.
Пример.
Пусть
,
где
. И пусть ,
. Тогда и
. Пусть -
группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку ,
и - модулярная
группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо
квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .
В
последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной
актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами
(Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н.
Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением
групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны
или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными
обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных
результатов независимо для квазинормальных и -нормальных
подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного
выше понятия слабой квазинормальности.
Таким
образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных
подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.
Определение.
Подгруппа группы называется
слабо нормальной в подгруппой, если
существует такая квазинормальная подгруппа группы
, что и
.
Докажем
ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть
- группа и .
Тогда справедливы следующие утверждения:
(1)
Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо
нормальная подгруппа в группе тогда и только
тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в
группе .
(2)
Если - слабо нормальная в подгруппа, то -
слабо нормальная в подгруппа.
(3)
Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в
подгрупп таких,
что , - слабо
нормальная подгруппа в группе .
Доказательство.
(1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и -
такая квазинормальная в подгруппа, что
Тогда
, -
квазинормальная в подгруппа и . Значит, -
слабо нормальная в подгруппа.
Пусть
теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы
мы имеем и
Ясно,
что
Поскольку
то
и
- квазинормальные в подгруппы.
Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.
Утверждение
(2) очевидно.
(3)
Пусть - слабо нормальная подгруппа в
группе и -
квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и
Значит,
слабо нормальна в и
ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.
В
данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных,
дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных
подгрупп.
Следующая
теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа
разрешима тогда и только тогда, когда , где ,
- подгруппы группы такие,
что каждая максимальная подгруппа из и каждая
максимальная подгруппа из слабо нормальны
в .
Пусть
- группа тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(1)
- разрешима;
(2)
, где ,
- подгруппы группы такие,
что каждая максимальная подгруппа из и каждая
максимальная подгруппа из слабо
квазинормальны в ;
(3)
, где ,
- подгруппы группы такие,
что каждая максимальная подгруппа из и каждая
максимальная подгруппа из слабо нормальны
в .
Группа
метанильпотентна тогда и только тогда, когда
, где подгруппа -квазинормальна в ,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа
из слабо нормальна в .
Доказательство.
Допустим, что , где -
-квазинормальна в ,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа
из слабо нормальна в .
Покажем, что группа метанильпотентна.
Предположим, что это не верно и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1)
не является нильпотентной группой.
Предположим,
что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3),
субнормальна, то содержится
в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из
по лемме (2).
Тогда
нильпотентна
и поэтому метанильпотентна. Полученное
противоречие с выбором группы доказывает (1).
(2)
.
Допустим,
что . Тогда ввиду леммы ,
нильпотентна, что противоречит (1). Значит,
мы имеем (2).
(3)
Если - абелева минимальная нормальная
подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.
Пусть
- -группа и - силовская -подгруппа
в . Тогда и
поэтому по лемме
каждая силовская подгруппа из слабо нормальна
в . Поскольку по лемме ,
-квазинормальна в
,
то
условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.
(4)
Условия теоремы справедливы для (это проямо
следует из леммы ).
(5)
разрешима.
Если
, то метанильпотентна
по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской
подгруппы из мы
имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы .
Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет
квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в
выбором группы доказывает (5).
(6)
В группе имеется в точности одна
минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .
Тогда абелева согласно (5), и поэтому
ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс
всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных
групп является насыщенной формацией (см. ),
то - единственная минимальная нормальная
подгруппа группы , содержащаяся в .
(7)
Если -группа,
то каждая силовская -подгруппа из , где ,
имеет квазинормальное дополнение в .
Пусть
- силовская -подгруппа
в , где .
Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и
поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и
Заключительное
противоречие.
Пусть
- силовская -подгруппа
в и . Тогда
По
условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и
Тогда
и
поэтому - дополнение для в , которое
является квазинормальной в подгруппой. Если
- -подгруппа из , где ,
то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой
(см. доказательство утверждения (3) леммы ).
Тогда по лемме ,
нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие
доказывает метанильпотентность группы .
Обратно,
предположим, что метанильпотентна.
Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо
нормальна в . Предположим, что это не верно и
пусть - контрпример минимального
порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу
, которая не является слабо нормальной в . Пусть -
произвольная минимальная нормальная подгруппа в и
- подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что .
Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1),
слабо нормальна в ,
противоречие. Значит, и поэтому
Так
как по условию метанильпотентна и - силовская подгруппа в , то имеет
нормальное дополнение в .
Но поскольку и -
-группы, то -
нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо
нормальна в . Полученное противоречие
показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо
нормальна в .
Пусть
- группа тогда следующие утверждения
эквивалентны:
(1)
- метанильпотентна;
(2)
, где подгруппа субнормальна
в , - абелева
холлова подгруппа в и каждая силовская
подгруппа из слабо квазинормальна в ;
(3)
, где подгруппа -квазинормальна в ,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа
из слабо нормальна в .
Пусть
, где подгруппа -квазинормальна в ,
нильпотентна. Предположим, что любая
максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в .
Тогда сверхразрешима.
Доказательство.
Предположим, что эта теорема не верна и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)
Каждая собственная подгруппа группы , содержащая ,
сверхразрешима.
Пусть
, где .
Тогда
где
нильпотентна и -квазинормальна в .
Так как по лемме (2),
любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и
, то по выбору группы мы
имеем (1).
(2)
Пусть - неединичная нормальная подгруппа
в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу
из ,
или циклична, или .
Тогда сверхразрешима.
Если
, то
нильпотентна.
Пусть теперь . Так как ,
то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что
где
-квазинормальна в
и нильпотентна.
Пусть силовская -подгруппа
из и - произвольная
максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа
из , такая что .
Ясно, что - силовская -подгруппа группы .
Значит, для некоторой силовской -подгруппы из
. Предположим, что не
является циклической подгруппой. Тогда не
циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если ,
то это прямо следует из леммы .
Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая,
либо . Тогда .
Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и
, то
Предположим,
что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так
как - максимальная в подгруппа,
то либо , либо .
Если , то
что
противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в .
Значит,
слабо
нормальна в . Следовательно, условия теоремы
справедливы для .
(3)
и сверхразрешима.
По
выбору группы , и
поэтому сверхразрешима согласно (1).
(4)
- разрешимая группа.
По
условию -квазинормальна
в и поэтому по лемме (3),
содержится в некоторой разрешимой нормальной
подгруппе группы .
Так как группа нильпотентна, то разрешима.
(5)
Если - простое число и , то .
Пусть
. Тогда ввиду (2), сверхразрешима.
Если - множество всех простых делителей
порядка группы , то по лемме (1),
, где -
нормальная -подгруппа группы и поэтому
сверхразрешима.
Но тогда
сверхразрешима.
Полученное противоречие с выбором группы доказывает
(5).
(6)
.
Допустим,
что . Тогда по лемме ,
нильпотентна. Пусть -
силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3)
субнормальна в ,
то субнормальна в .
Тогда , согласно лемме (1).
Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы .
Так как и
нильпотентно,
то - силовская -подгруппа
из . Пусть -
холлова -подгруппа из и . По лемме ,
нормальна в и
поэтому . Допустим, что для некоторого
простого делителя порядка , отличного от , мы имеем .
Тогда нормальна в и поэтому -
нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда ,
что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме ,
сверхразрешима и поэтому - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы .
Но тогда - абелева группа экспоненты,
делящей и поэтому сверхразрешима,
согласно леммы .
Полученное противоречие с выбором группы доказывает
(6).
Заключительное
противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в .
Пусть - -группа
и - силовская -подгруппа
группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная нормальная
подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и
. Значит, по лемме
для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем .
Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в
, которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда
и
поэтому . Но тогда
и
поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет
холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3),
субнормальна в ,
то каждая холлова -подгруппа группы содержится в .
Следовательно, - -группа.
Отсюда следует, что
сверхразрешима.
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа
дисперсивна по Оре тогда и только тогда,
когда , где подгруппа квазинормальна в ,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная
подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .
Доказательство.
Пусть , где подгруппа квазинормальна в ,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная
подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .
Покажем, что группа дисперсивна по Оре.
Предположим, что это не верно и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)
Каждая собственная подгруппа группы , содержащая ,
дисперсивна по Оре.
Пусть
, где .
Тогда
где
дисперсивна по Оре и квазинормальна
в . Так как по лемме (2)
любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и
, то по выбору группы мы
имеем (1).
(2)
Пусть - неединичная нормальная подгруппа
в , являющаяся -группа
для некоторого простого числа . Допустим, что
либо содержит силовскую -подгруппу из
, либо циклична,
либо . Тогда дисперсивна
по Оре.
Если
, то
дисперсивна
по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия
теоремы справедливы для . Ясно, что
где
квазинормальна в и
дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа
из и - произвольная
максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа
из , такая что .
Ясно, что - силовская -подгруппа группы .
Значит, для некоторой силовской -подгруппы из
. Предположим, что не
является циклической подгруппой. Тогда не
циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если ,
то это прямо следует из леммы .
Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая,
либо . Тогда .
Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и
, то
Предположим,
что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так
как - максимальная в подгруппа,
то либо , либо .
Если , то ,
что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем
противоречие.
Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в .
Значит,
слабо
нормальна в . Следовательно, условия теоремы
справедливы для .
(3)
Если - простое число и , то .
Пусть
Тогда
ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой
стороны, если - множество всех простых делителей
, то ввиду леммы (3)
и леммы ,
, где -
нормальная -подгруппа в и поэтому
дисперсивна
по Оре. Но тогда
дисперсивна
по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4)
разрешима.
По
условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3)
и леммы ,
содержится в некоторой разрешимой нормальной
подгруппе группы .
Так как
дисперсивна
по Оре, то разрешима.
(5)
.
Предположим,
что . Тогда согласно лемме ,
нильпотентна. Пусть -
силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна
в , то субнормальна
в . Значит, по лемме ,
. Но ввиду (2), дисперсивна
по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть -
наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и
. Пусть -
наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа
группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и
поэтому . Если ,
то - силовская -подгруппа
группы и поэтому дисперсивна
по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по
Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть - силовская -подгруппа
в . Тогда -
силовская -подгруппа в . Поскольку -
подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна
по Оре, то и поэтому .
Следовательно, группа дисперсивна по Оре.
Полученное противоречие доказывает (5).
Заключительное
противоречие.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .
Пусть - -группа
и - силовская -подгруппа
группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет
нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы .
Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому .
Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна
по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Заключение
В
последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что
получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные
выделенные системы подгрупп которых -нормальны или
квазинормальны в группе . Не смотря на
тот факт, что квазинормальность и -нормальность
являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено
много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы
устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой
квазинормальности.
Основные
результаты данной работы:
-
доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
-
найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их
максимальных и силовских подгрупп;
-
получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам
максимальных подгрупп силовских подгрупп;
-
найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо
нормальных подгрупп.
Работа
имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть
использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо
квазинормальных подгрупп.
Литература
1.Боровиков,
М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т.
Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков,
М.Т. О -разрешимости конечной группы /
М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под
редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Го
Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для
классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь,
К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
4.Пальчик,
Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы
которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер.
физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
5.Пальчик,
Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл.
АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчик,
Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы
которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П.
Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная,
В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В.
Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная,
В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами /
В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - №
4(14). - С. 80-82.
9.Поляков,
Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные
группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко
(Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к
подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182.