Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф.
Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ,
ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка
группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный
руководитель:
доктор
ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень
условных обозначений
Введение
1
Некоторые базисные леммы
2
Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим
классам конечных групп
3
Сверхрадикальные формации
Заключение
Список
использованных источников
Рассматриваются
только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т. е.
;
---
дополнение
к во множестве всех простых чисел; в частности,
;
примарное
число --- любое число вида .
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
---
множество
всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа ,
для которой ;
-группа --- группа ,
для которой ;
--- коммутант группы ,
т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова
подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа
группы ;
--- дополнение к силовской -подгруппе в группе ,
т. е. -холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы ;
--- -длина
группы ;
--- минимальное число порождающих элементов
группы ;
--- цоколь группы ,
т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа порядка .
Если
и --- подгруппы группы , то :
--- является
подгруппой группы ;
--- является
собственной подгруппой группы ;
--- является
нормальной подгруппой группы ;
--
-
ядро подгруппы в группе ,
т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;
--- нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е.
подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами
группы ;
--- индекс подгруппы в
группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант подгрупп и ;
--- подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная
нормальная подгруппа группы --- неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- является
максимальной подгруппой группы .
Если
и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной
подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы
и группы называются перестановочными, если .
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна
в ;
-нильпотентной, если -холлова
подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд,
факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный
фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной,
если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой,
если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми
числами.
Монолитическая
группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную
подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая
нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа --- группа, обладающая
нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа --- группа, являющаяся
одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа
Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой
нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из , что .
Цепь
--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд
подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через
единицу.
Ряд
подгрупп называется:
субнормальным,
если для любого ;
нормальным,
если для любого ;
главным,
если является минимальной нормальной подгруппой в
для всех .
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу
групп .
Формация
--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей
порядков всех групп из ;
--- множество всех тех простых чисел , для которых ;
--- формация, порожденная классом ;
--- насыщенная формация, порожденная классом
;
--- класс всех групп ,
представимых в виде
где
, ;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых
принадлежат ;
--- класс всех -групп из ;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных групп;
--- класс всех -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп с
нильпотентной длиной .
Если
и --- классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и ---
группа, то:
--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких,
что ;
--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если
и --- формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных
максимальных подгрупп группы .
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика формации .
-абнормальной называется максимальная
подгруппа группы , если , где ---
некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что
(1)
каждый фактор является главным фактором группы ;
(2)
если порядок фактора есть степень простого числа , то .
--- -гиперцентр
группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Вопросы,
посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место.
Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения
некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно
перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и
свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало
исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф.
Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно,
Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает
факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп
различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой
группы).
Следующий
важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был
исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами
факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного
направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель
и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя
нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила
источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда
вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди
дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С.
Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н.
Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную
роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том
[59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к
некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной
формацией.
Напомним,
что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп,
замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых
расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание
многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными
формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории
классов групп.
Эффективность
метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства
конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной
формации к другой.
Известно,
что класс нильпотентных групп замкнут относительно
произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача
об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения
нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали,
что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной.
Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27,
30].
Развивая
подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации ,
замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих
некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно
развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
В
теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы
будем нызывать обобщенно субнормальными.
Одной
из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А.
Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т.
е. формаций с тем свойством, что любая группа , где и -- -субнормальные
-подгруппы, принадлежит .
Данная
проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов
конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых
групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н.
Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных
сверхрадикальных формаций.
Известно,
что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения
обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
Классифицировать
наследственные насыщенные формации с тем свойством, что
любая группа , где и --- -субнормальные
-подгруппы взаимно простых индексов,
принадлежит .
В
1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где и --- -нильпотентные
подгруппы и индексы , не
делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.
Естественно
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на
некоторое фиксированное простое число.
В
попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических
групп формации ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих
некоторому классу групп , но все собственные
подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А.
Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств
ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на
восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по
теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только
отдельной группы, но и при описании классов групп.
Таким
образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами,
занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой
актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.
В
теории конечных групп одним из основных понятий является понятие
субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним,
что подгруппа называется субнормальной
подгруппой группы , если существует цепь подгрупп
такая,
что для любого подгруппа нормальна
в .
Естественным
обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности,
которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в
монографии [44].
Пусть
--- непустая формация. Подгруппу группы называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь
такая,
что для всех .
Несколько
другое понятие -субнормальности введено Кегелем в
работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.
Подгруппу
называют -субнормальной
в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь
подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .
Для
любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных
подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же ---
непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых
подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для
любой группы .
В
Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации
сверхрадикальных формаций.
Напомним,
что формация называется сверхрадикальной, если она
удовлетворяет следующим требованиям:
1)
--- нормально наследственная формация;
2)
любая группа , где и --- -субнормальные
-подгруппы из ,
принадлежит .
В.Н.
Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено
полное решение данной проблемы.
В
данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных
насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В
данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых)
подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов
диссертации.
Напомним,
что критической группой формации ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая
, все собственные подгруппы которой
принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через обозначают
множество всех разрешимых групп, а через ---
множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.
1.1
Лемма.
Пусть --- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация. Если
и , где , то .
Доказательство.
Пусть . По теореме 2.2.1, ---
-группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где --- -группа, --- -группа и . Так как и , то .
Следовательно, --- -группа.
Пусть --- -главный
фактор . Если --- -группа, то -централен.
Пусть
--- -группа.
По теореме 2.2.3, . Пусть и --- произвольная -абнормальная
максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по
теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку
то
. Учитывая, что , по
теореме 2.2.5, имеем
где
--- максимальные внутренние локальные
экраны, соответственно и . Если , то . Отсюда
и из того, что
следует
. А это значит, что -централен.
Пусть
. Так как ---
насыщенная формация и , то .
Следовательно, --- -нормализатор
группы . В силу того, что покрывает
, то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, .
Лемма доказана.
1.2
Лемма.
Пусть --- непустая наследственная формация. Если --- -субнормальная
подгруппа, то --- субнормальная подгруппа.
Доказательство.
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Если , то лемма
очевидна. Пусть . Тогда содержится
в максимальной -нормальной подгруппе группы . По
индукции, --- субнормальная подгруппа из . Так как и --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит,
. Поскольку ---
нормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.
1.3
Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная формация, --- -субнормальная
подгруппа группы такая, что .
Тогда .
Доказательство.
Пусть . Очевидно,
Так
как , то по индукции .
Следовательно,
Отсюда,
согласно лемме 2.2.6,
Пусть
. Тогда ---
цоколь группы . По лемме 3.1.2, --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, .
Следовательно, --- нормальная подгруппа группы . Тогда
По
теореме 2.2.8, . Отсюда следует, что . Так как и --- наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана.
В
следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных
подгрупп.
1.4
Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1)
если --- подгруппа группы и
, то --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы ;
2)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа группы , то --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа для любой подгруппы группы
;
3)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа и --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы , то --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы ;
4)
если и --- -субнормальные (-достижимые)
подгруппы группы , то --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы ;
5)
если все композиционные факторы группы принадлежат
формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ;
6)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна (-достижима)
в для любых .
Доказательство.
1) Пусть --- подгруппа группы и
. Так как и --- наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной
подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует
максимальная цепь
такая,
что для всех . Отсюда,
с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует
максимальная цепь
такая,
что для всех .
А
это значит, что --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- подгруппа группы ,
содержащая , тогда --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная
подгруппа группы является -достижимой
в , то --- -достижимая подгруппа группы .
2)
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Тогда, по определению, существует
максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого .
Пусть
--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп
Так
как и формация наследственна,
то из следует, что
Теперь,
ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит, . Так как
, то . Итак, . Отсюда, по определению, --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- -достижимая
подгруппа группы . Тогда, по определению, существует
цепь подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .
Пусть
--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:
Если
подгруппа нормальна в , то
подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна,
то из следует, что
Теперь,
ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит, . Так как
, то . Итак,
для каждого либо подгруппа нормальна
в , либо . Отсюда,
по определению, --- -достижимая
подгруппа группы .
Утверждение
3) следует непосредственно из определения -субнормальной
(-достижимой) подгруппы.
Утверждение
4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5)
Пусть все композиционные факторы группы принадлежат
формации , и пусть ---
субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп
такая,
что для любого подгруппа нормальна
в .
Согласно
условию, , отсюда следует, что .
А это значит, что подгруппа -субнормальна
в группе .
Утверждение
6) следует непосредственно из определения -субнормальной
(-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.
1.5
Лемма.
Пусть --- непустая формация, и --- подгруппы группы , причем нормальна
в . Тогда:
1)
если -субнормальна (-достижима) в , то -субнормальна (-достижима) в и -субнормальна (-достижима) в ;
2)
если , то -субнормальна (-достижима)
в тогда и только тогда, когда -субнормальна (-достижима) в .
Доказательство.
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Тогда, по определению, существует
максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого .
Рассмотрим
следующую цепь подгрупп
Так
как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что
Итак,
для каждого . Отсюда, по определению,
--- -субнормальная
подгруппа группы .
Ввиду
леммы 2.2.6,
Поэтому
для любого . Значит, --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- -достижимая
подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует
цепь подгрупп
такая,
что для любого либо нормальна
в , либо .
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Если
подгруппа нормальна в , то
подгруппа нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что .
Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая
подгруппа группы .
Ввиду
леммы 2.2.6, . Поэтому для любого либо подгруппа нормальна
в , либо . Значит,
--- -достижимая
подгруппа группы .
Утверждение
2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
В
работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных
насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая
силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание
таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления
были посвящены работы [4, 16].
В
данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в
класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В
теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( --- некоторое множество простых чисел),
который обозначается через . Большинство важнейших
классов групп можно построить из классов вида с помощью
операций пересечения и произведения классов.
Напомним,
что произведением классов групп и называется
класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется
нормальная -подгруппа с
условием .
Пусть
--- множество всех натуральных чисел.
Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , --- некоторые множества простых чисел, а , --- классы всех -групп и -групп
соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:
Напомним,
что группа называется -замкнутой
( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -допо
