Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график.

y

	y=sinx

 

1

0             30°                 60°             90°          x

                        Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a2+b2=c2

или

По определению                                                 тогда

                                                                                                            (1)

Легко также найти следующие зависимости

                                                                                                            (2)

                                                                                                            (3)

                                                                                                            (4)

                                                                                                            (5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

                                                                                                            (6)

                                                                                                            (7)

                                                                                                            (8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор                    образующий с положительным направлением оси 0x угол a. Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор      - конечная сторона угла a. Проекция вектора  на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

Можно показать, что отношения                       где а – длина вектора    , зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора    . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором       , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

                        y

A

                                                 x      

            Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной       соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

 и sin(a+360°· n)=sina

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax<0; ay>0;

В III четверти ax<0; ay <0;

В IV четверти ax>0; ay<0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число                    где r обозначает радианы, ии по определению принять что

 sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ±1; ±2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin(x+2pn)= sinx, где n=0; ±1; ±2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки               начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим на n равных частей:                                                                    

Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 01 x1 , но сначало координат 01(x1 =0) и 0(x=0) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2p делим на n равных частей:                         Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2p] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2p].

                                                                                                                        Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1£ sinx £+1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=pn (n=0; ±1; ±2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция  возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах

                                                            (n=0; ±1; ±2;…).        

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах

                                                            (n=0; ±1; ±2;…).

Информация