Èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà
Îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ
ìóíèöèïàëüíàÿ
ñðåäíÿÿ øêîëà ¹5
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÂÎÉÑÒ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÎÃÎ
ÒÅÒÐÀÝÄÐÀ
Àâòîð ðàáîòû:
Àíäðååâà Åëåíà
Âàëåðüåâíà
ó÷åíèöà 11 «á» êëàññà
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
Ñîëäàòêèíà Êëàâäèÿ
Äìèòðèåâíà
Ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè
Ãîðîä Êóçíåöê, 2004 ãîä
ÏËÀÍ.
². Îáúåêò
èññëåäîâàíèÿ.
²². Öåëü
èññëåäîâàíèÿ.
²²². Äîêàçàòåëüñòâà
ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà.
²V. Ïðàêòè÷åñêîå
ïðèìåíåíèå ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà.
V. Èñïîëüçîâàííàÿ ëèòåðàòóðà.
². ÎÁÚÅÊÒ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß
 ðàáîòå âïåðâûå
ââîäèòñÿ ïîíÿòèå «Ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð». Òåòðàýäð- ìíîãîãðàííèê, ñîäåðæàùèé 4
ãðàíè. Òåòðàýäð ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíîé ïèðàìèäîé è ñîäåðæèò 4 òð¸õãðàííûõ óãëà
(ðèñ. 1) Òð¸õãðàííûé óãîë- ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ òðåìÿ ïëîñêîñòÿìè (ãðàíÿìè),
èìåþùèìè îáùóþ òî÷êó (âåðøèíó) (ðèñ 2) [1,2].
Î Î
À Â
À Â
Ñ Ñ
Ðèñ. 1
Òåòðàýäð.
Ðèñ. 2 Òð¸õãðàííûé óãîë.
Òð¸õãðàííûé óãîë ñîäåðæèò òðè ïëîñêèõ
óãëà, îáðàçîâàííûõ ð¸áðàìè, ëåæàùèìè íà îäíîé ãðàíè. Ââåäåì ïîíÿòèå ïðÿìîãî
òðåõãðàííîãî óãëà. Íàçîâåì ïðÿìûì òð¸õãðàííûì óãëîì òðåõãðàííûé óãîë,
ñîäåðæàùèé òðè ïðÿìûõ ïëîñêèõ óãëà (ðèñ3), ò.å. ð¸áðà òð¸õãðàííîãî óãëà âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ââåäåì òàêæå ïîíÿòèå ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà. Òåòðàýäð
íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, åñëè ñîäåðæèò ïðÿìîé òð¸õãðàííûé óãîë (ðèñ 4).
À
À
Â
Â
Î
Î
Ñ
Ðèñ.
3 Ñõåìà ïðÿìîãî Ðèñ. 4 Ñõåìà
ïðÿìîóãîëüíîãî
òð¸õãðàííîãî óãëà,
òåòðàýäðà.
Ââåäåì
òàêæå ïîíÿòèÿ êàòåòíûõ ãðàíåé, ãèïîòåíóçíîé ãðàíè, êàòåòîâ è ãèïîòåíóç
ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà. Ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð ñîäåðæèò òðè êàòåòíûå
ãðàíè (ãðàíè, ñîäåðæàùèå ïðÿìîé ïëîñêèé óãîë) è ãèïîòåíóçíóþ ãðàíü (íå
ñîäåðæàùóþ ïðÿìîé óãîë). Ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð ñîäåðæèò òðè êàòåòà (ð¸áðà
ïðÿìîãî òð¸õãðàííîãî óãëà) è òðè ãèïîòåíóçû (ð¸áðà, ëåæàùèå íà ãèïîòåíóçíîé
ãðàíè). Òåòðàýäð, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû, íàçîâåì ðàâíîêàòåò-íûì.
²². ÖÅËÜ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß
Óñòàíîâëåíèå èëè äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî
òåòðàýäðà
Àêòóàëüíîñòü òåìû: ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðîé,
îáëàäàþùåé óíèêàëüíûìè ñâîéñòâàìè. Èçó÷åíèå ýòèõ ñâîéñòâ â øêîëüíîì êóðñå
ìàòåìàòèêè äîëæíî ñïîñîáñòâîâàòü ðàçâèòèþ àáñòðàêòíîãî è ëîãè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ ó
ó÷àùèõñÿ.
²²². ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ ÑÂÎÉÑÒ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÎÃÎ ÒÅÒÐÀÝÄÐÀ.
I. Êâàäðàò ïëîùàäè ãèïîòåíóçíîé ãðàíè ðàâåí
ñóììå êâàäðàòîâ ïëîùàäåé êàòåòíûõ ãðàíåé.
À
Äàíî:
ÎÀÂÑ - ïðÿìîóãîëüíûé
òåòðàýäð
SÎÀÂ= S1
SABC= S
SOBC= S2 SOAC= S3 Â
Äîêàçàòü: Î
D
S²=S1²+S2²+S3²
Ñ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü AD- âûñîòà ãèïîòåíóçíîé ãðàíè ÀÂÑ, ïðîâåä¸ííàÿ ê ðåáðó
ÂÑ èç âåðøèíû À, ÎD-
ïðîåêöèÿ AD íà êàòåòíîé ãðàíè ÎÂÑ, OD
ïåðïåíäèêóëÿðíî ÂÑ, ò.ê. AD ïåðïåíäèêóëÿðíî ÂÑ è ÀÎ ïåðïåíäèêóëÿðíî ÎÂÑ
(îáðàòíàÿ òåîðåìà î òð¸õ ïåðïåíäèêóëÿðàõ). SABC= 1/2 BC×AD
SOBC=1/2 BC×OD
SOAB =1/2 OA×OB
SOAC=1/2OA×OC
S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=
=1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), ò.ê.
β+ÎѲ=ÂѲ (ïî òåîðåìå
Ïèôàãîðà)
S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD² , ò.ê.
OD²+OA²=AD² (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà)
ò.å.
S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC
S²1+S²2+S²3=S²,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
II. Ñóììà êâàäðàòîâ ãèïîòåíóç ðàâíà óäâîåííîé ñóììå
êâàäðàòîâ êàòåòîâ.
Äàíî: À
ÎÀÂÑ- ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð
ãäå à
, b , ñ
- êàòåòû. Â
ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ- ãèïîòåíóçû à
Äîêàçàòü: b
À²+ÂѲ+ÀѲ=2(ಠ+ b ² +ñ²)
Äîêàçàòåëüñòâî. Î
À² = ಠ+ b ² ñ
Ñ
ÂѲ = b ² + ñ² (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà)
ÀѲ =
ಠ+ ñ²
À² + ÂѲ + ÀѲ =2ಠ+ 2 b ² +2ñ²
, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
III. Îáú¸ì ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà ðàâåí 1/6
ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ.
À
Äàíî:
ÎÀÂÑ - ïðÿìîóãîëüíûé
òåòðàýäð
à , b
, ñ - êàòåòû. Â
Äîêàçàòü:
à b
V=(1/6) à
· b · ñ
Äîêàçàòåëüñòâî. Î Ñ
ñ
Ïîñêîëüêó òåòðàýäð
ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíîé ïèðàìèäîé, åãî îáú¸ì
V=(1/3 )Sîñí · h
Âûáåðåì â
êà÷åñòâå îñíîâàíèÿ êàòåòíóþ ãðàíü ÎÂÑ, òîãäà êàòåò à áóäåò âûñîòîé
òåòðàýäðà, ò.ê. à ïåðïåíäèêóëÿðåí ÎÂÑ, ò.å.
V=(1/3) SOBC· à
, ò.ê.SOBC=(1/2) b ·.ñ
Èìååì V=(1/6) à
· b · ñ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
IV.
Ðàññòîÿíèå îò
âåðøèíû ïðÿìîãî òð¸õãðàííîãî óãëà äî ãèïîòåíóçíîé ãðàíè îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå:
_______________
h = (a۰b۰c)/√a²·b²
+ b²·c² + a²·c²
ãäå a, b, c – êàòåòû òåòðàýäðà
Äàíî: À
ÎÀÂÑ- ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð
ÎÀ = à,
ÎÂ = b, ÎÑ = ñ êàòåòû Ä
ÎÄ = h – ïåðïåíäèêóëÿð
ê ãðàíè
ÀÂÑ à
h
Â
Äîêàçàòü: b
____________ Î
h = (a·b·c) / √a²b²+b²c²+a²c² ñ Ñ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáúåì òåòðàýäðà:
V =
(1/3)SÀÂÑ·h
C äðóãîé
ñòîðîíû: V = (1/6)abc (ñâîéñòâî 3 ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà).
Ñëåäîâàòåëüíî,
h = (abc) / (2SÀÂÑ)
Èç ïåðâîãî ñâîéñòâà
ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà:
___________________
SÀÂÑ = √½²ÎÀÂ
+ S²ÎÂÑ +
S² ÎÀÑ
____________
ò.å. SÀÂÑ = (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²
Ñëåäîâàòåëüíî,
____________
h =
(abc) / √a²b²+b²c²+a²c²
, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
V.
Êîñèíóñû íàïðàâëÿþùèõ
óãëîâ íîðìàëè ê ãèïîòåíóçíîé ãðàíè îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
____________
cos
α = h / a= (bc)
/ √a²b²+b²c²+a²c²
____________
ños β = h / b
= (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²
____________
cos
γ = h / c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²
ãäå a, b, c – êàòåòû òåòðàýäðà;
α – óãîë ìåæäó êàòåòîì à è íîðìàëüþ
β – óãîë ìåæäó êàòåòîì b è íîðìàëüþ
γ – óãîë ìåæäó êàòåòîì ñ è íîðìàëüþ.
h – íîðìàëü
Äàíî:
ÎÀÂÑ - ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð.
ÎÀ = à, ÎÂ = b, ÎÑ = ñ - êàòåòû
ÎÄ = h – íîðìàëü ê ãðàíè ÀÂÑ À
Äîêàçàòü: Ä
____________
cos α
= (bc) / √a²b² +b²c²
+a²c²
h
____________ à Â
cos β = (ac) / √a²b²
+b²c² +a²c² α
b
____________
β
cos γ = (ab) / √a²b²
+b²c² +a²c² γ
Ñ
Î ñ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîåäèíèì òî÷êó Ä ñ òî÷êîé À è ïîëó÷èì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ÎÀÄ
cos α = ÎÄ/ÎÀ = h/a
____________
Ïîñêîëüêó h = (abc)
/ √a²b²+b²c²+a²c²
____________
cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Àíàëîãè÷íî:
____________
cos β = ÎÄ/ÎÂ = d/b
= (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²
____________
cos
γ = ÎÄ/ÎÑ = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²
VI.
Ðàäèóñ ñôåðû,
îïèñûâàþùåé ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
________
R = (
½) · √a²+b²+c²
ãäå a,
b, c – êàòåòû òåòðàýäðà
Ê
L
Äàíî:
ÎÀÂÑ- ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð À Ì
ÎÀ = à, ÎÂ
= b, ÎÑ
= ñ – êàòåòû
R –
ðàäèóñ ñôåðû, îïèñûâàþùåé
òåòðàýäð.
Äîêàçàòü: à
_______ Â Ä
R =
(1/2)√a²+b²+c² b
Î
Äîêàçàòåëüñòâî. ñ Ñ
Íà áàçå
ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà
ÎÀÂÑ äîñòðàèâàåì
ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ÎÂÄÑÀÊËÌ. Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
ÿâëÿþòñÿ äèàìåòðàìè îïèñûâàþùåé åãî ñôåðû, ò.ê. öåíòð ñèììåòðèè ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì îïèñàííîé ñôåðû ò.å.:
_______
_____ ________
ÊÑ = D =
√a²+b²+c² (ÂÑ = √b²+c² , ÂÊ = à, ÊÑ = √ÂѲ+Âʲ
)
Ïîñêîëüêó äàííàÿ
ñôåðà îäíîâðåìåííî îïèñûâàåò ïðÿìîóãîëüíûé
òåòðàýäð, èìååì:
_______
R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,
÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
VII. Ðàäèóñ ñôåðû, âïèñàííîé â ïðÿìîóãîëüíûé
òåòðàýäð, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
abc
r
= ____________ ,
√a²b²+b²c²+a²c²
+ ab + bc + ac
ãäå a,
b, c - êàòåòû òåòðàýäðà.
Äàíî: ÎÀÂÑ -
ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð
ÎÀ = à, ÎÂ = b,
ÎÑ = ñ – êàòåòû. Î1 – öåíòð âïèñàííîé ñôåðû
r - ðàäèóñ âïèñàííîé ñôåðû
Äîêàçàòü:
r = h / (1 + cosα +
cosβ + cosγ)
Äîêàçàòåëüñòâî:
Ïóñòü âïèñàííàÿ ñôåðà êàñàåòñÿ ãèïîòåíóçíîé ãðàíè â òî÷êå Ä. Òîãäà Î1Ä ïåðïåíäèêóëÿðíà
ãèïîòåíóçíîé ãðàíè è Î1Ä = r.
_ _
Ïóñòü do
- åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè
ê ãèïîòåíóçíîé ãðàíè, ò.å. |dî| = 1
Êîîðäèíàòû ýòîãî
åäèíè÷íîãî âåêòîðà (cos α; cos β; cos γ) ÿâëÿþòñÿ íàïðàâëÿþùèìè êîñèíóñàìè íîðìàëè ê
ãèïîòåíóçíîé ãðàíè.
__
Íàéäåì ïðîåêöèþ
âåêòîðà ÎÎ1 ñ êîîðäèíàòàìè (r; r; r) íà âåêòîð íîðìàëè:
___
__
ÎÊ = |ÎÎ1|cosδ , ãäå δ – óãîë ìåæäó âåêòîðîì ÎÎ1 è
âåêòîðîì íîðìàëè.
___ __ _
__ _
|OO1|cosδ = (OO1·do) = r·cosα
+ r·cosβ + r·cosγ , ãäå (ÎÎ1·dî)
– ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü
ïåðïåíäèêóëÿð ê ãèïîòåíóçíîé ãðàíè ÎÍ = h,
òîãäà h = OK + KH, ò.å.
h = |OO1|cosδ + r, ò.ê. ÊÍ = r
(ïîñêîëüêó
ÊÍÄÎ1 ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîóãîëüíèêîì).
Èìååì
h = r cosα + r cosβ + r cosγ
+ r
ò.å.
r = h / (1 + cosα + cosβ +
cosγ)
Ñ ó÷åòîì 4-ãî è 5-ãî
ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà èìååì ïîëíóþ ôîðìóëó:
____________
(abc)/√ a²b²+b²c²+a²c² abc
r = ____________
= ____________
,
1 + (bc + ac + ab)
/ √a²b²+b²c²+a²c² √a²b²+b²c²+a²c²
+ ab + bc + ac
VIII.
Ñâîéñòâà
ðàâíîêàòåòíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà.
À
Äàíî:
ÎÀÂÑ -ïðÿìîóãîëüíûé òåòðàýäð
ÎÀ = ÎÂ = ÎÑ = à
– à
êàòåòû Â
Äîêàçàòü,
÷òî ãèïîòåíóçíàÿ à
ãðàíü ÿâëÿåòñÿ
ïðàâèëüíûì
òðåóãîëüíèêîì è êîñèíóñû Î Ä
äâóãðàííûõ óãëîâ
ìåæäó
ãèïîòåíóçíîé ãðàíüþ è
êàòåòíûìè à
ãðàíÿìè ðàâíû Ñ
___
√1/3
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñòîðîíû ãèïîòåíóçíîé
ãðàíè íàõîäèì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà:
_________ __
ÀÑ = √ ÎÀ² +OC² = √2 à
_________
__
ÀÂ =
√ ÎÀ² +OB² = √2 à
_________
__
ÂÑ =
√ β + ÎѲ = √2 à
ò.å. òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ðàâíîñòîðîííèé èëè ïðàâèëüíûé, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
Ïðîâåäåì îòðåçîê ÀÄ ïåðïåíäèêóëÿðíî ÂÑ. Îòðåçîê ÎÄ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé
îòðåçêà ÀÄ íà ãðàíü ÎÂÑ è ïîýòîìó ÎÄ áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí ÂÑ ïî òåîðåìå î òðåõ
ïåðïåíäèêóëÿðàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ÎÄÀ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì óãëîì äâóãðàííîãî
óãëà ìåæäó ãðàíÿìè ÎÂÑ è ÀÂÑ
Ïîñêîëüêó ÀÄ ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ:
_ _ _ ___
ÀÄ = (√3/2)ÀÂ = (√3/2)√2 à = √3/2 à
ÎÄ ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÎÂÑ,
îïóùåííîé ñ âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà. Ñëåäîâàòåëüíî:
_
ÎÄ = à/√2
Êîñèíóñ äâóãðàííîãî
óãëà: __
ños _ÎÄÀ = ÎÄ/ÀÄ = 1/√3 , ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ðåçóëüòàòû
èññëåäîâàíèÿ: èññëåäîâàíèÿ
ïîçâîëèëè óñòàíîâèòü ñâûøå 8 âàæíåéøèõ ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà.
Ïîñêîëüêó ýòè èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü âïåðâûå, âñå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû îáëàäàþò
íàó÷íîé íîâèçíîé.
Ôîðìóëà,
óñòàíàâëèâàþùàÿ ñâÿçü ìåæäó ïëîùàäÿìè ãðàíåé ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà, ÿâëÿåòñÿ
àíàëîãîì òåîðåìû Ïèôàãîðà äëÿ òðåõìåðíûõ ôèãóð è ïîýòîìó èìååò áîëüøóþ
òåîðåòè÷åñêóþ çíà÷èìîñòü.
²V. ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÎÅ
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÑÂÎÉÑÒ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÎÃÎ ÒÅÒÐÀÝÄÐÀ
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà
ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèÿõ ïî òåìàì «Ïèðàìèäà» è «Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä» â
ñðåäíåé øêîëå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà ìîæíî íàéòè
áîëåå ðàöèîíàëüíûå è óïðîùåííûå âàðèàíòû ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ñðàâíåíèþ ñ
òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè.
Íàïðèìåð: çàäà÷à ¹96 (ñòð.131) ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ: Â.Ì.Êëîïñêèé,
Ç.À.Ñêîïåö, Ì.È.ßãîäîâñêèé. Ãåîìåòðèÿ.-Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1979.
Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè à è
b, âûñîòà ïèðàìèäû ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó ïðÿìîãî óãëà
îñíîâàíèÿ è ðàâíà Í. Íàéòè ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè.
À
Äàíî:
ÎÀÂÑ- ïèðàìèäà,
îñíîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîóãîëüíûé H
òðåóãîëüíèê ÎÂÑ ñ êàòåòàìè à è b Â
ÎÀ = Í, âûñîòà.
Íàéòè:
b
S ïîëí. Î Ä
à
Ñ
1) Ðåøåíèå ïî òðàäèöèîííîé ñõåìå:
S
ïîëí. = SÀÎÑ + SÀÎÂ + SÂÎÑ + SÀÂÑ
SÀÎÑ = (1/2)àÍ; SÀΠ= (1/2)bÍ; SÂÎÑ
= (1/2)àb;
Íàéäåì îñíîâàíèå è âûñîòó áîêîâîé ãðàíè ÀÂÑ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ïèôàãîðà:
______ ________
ÂÑ = √ à²
+b²
; ÀÄ = √ ÎIJ +Ͳ , ãäå ÎÄ – ïðîåêöèÿ âûñîòû
ÀÄ íà îñíîâàíèå ÂÎÑ.
Ïîñêîëüêó ÎÄ _
ÂÑ, èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ÂÎÑ
è ÂÎÄ èìååì:
______
ÎÄ/ b
= à/ÂÑ èëè ÎÄ = (àb)/ÂÑ = (àb)/ √
ಠ+b²
Ñëåäîâàòåëüíî,
_______________ ________________________
ÀÄ = √ (àb)/( ಠ+b²) + Ͳ = √[(àb)²
+(bH)² + (àH)²]/(
ಠ+b²)
_________________
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
SÀÂÑ=
(1/2) √ (àb)²
+(bH)² + (àH)²
_________________
Cëåäîâàòåëüíî, S
ïîëí.= (1/2) [√ (àb)²
+(bH)² + (àH)²
+ àÍ + bÍ +
àb]
2)Ðåøåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà:
S ïîëí.= SÀÎÑ + SÀÎÂ + SÂÎÑ + SÀÂÑ
SÀÎÑ = (1/2)àÍ; SÀΠ= (1/2)bÍ; SÂÎÑ
= (1/2)àb;
___________________ _________________
SÀÂÑ= √
SÀÎÑ
² + SÀβ + SÂÎÑ ²
= (1/2)√ (àb)² +(bH)² + (àH)²
_________________
Cëåäîâàòåëüíî, S
ïîëí.= (1/2)(√ (àb)²
+(bH)² + (àH)²
+ àÍ + bÍ +
àb)
Çàäà÷à ¹280 (ñòð.76) ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ: Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ,
Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð. Ãåîìåòðèÿ.-Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1994.
Ðåáðî êóáà ðàâíî à. Íàéòè ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç
äèàãîíàëè äâóõ åãî ãðàíåé
Ê
L
Äàíî:
ÎÂÄÑÀÊLM - êóá À Ì
ÎÀ = à, ÎÂ
= b, ÎÑ
= ñ – ðåáðà
ΔÀÂÑ – ñå÷åíèå
êóáà ïëîñêîñòüþ, ïðîõî-
äÿùåé ÷åðåç äèàãîíàëè
ñìåæíûõ à
ãðàíåé. Â Ä
Íàéòè:
à
SÀÂÑ Î
à Ñ
1) Ðåøåíèå ïî
òðàäèöèîííîé ñõåìå:
Íàéäåì ñòîðîíû
ñå÷åíèÿ ÀÂÑ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ïèôàãîðà:
______ __
ÀÑ = À = ÂÑ = √ ಠ+ ಠ= √2
à
Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ íàéäåì ïî ôîðìóëå:
_
_ _
SÀÂÑ=
(√3/4)(ÀÑ)2 , ò.å. SÀÂÑ= (√3/4)(2à2) = (√3/2)à2
2)Ðåøåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òåòðàýäðà:
SÀÎÑ =
SÀÎÂ =
SÂÎÑ =
(1/2)à2 (ïîñêîëüêó òåòðàýäð ðàâíîêàòåòíûé);
___________________
SÀÂÑ= √
SÀÎÑ
² + SÀβ + SÂÎÑ ²
_________ _
Cëåäîâàòåëüíî, SÀÂÑ= (1/2) √
ಠ+ ಠ+ ಠ= (√3/2)à2
V. Ñïèñîê
èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû:
1.
Ì.ß.Âûãîäñêèé. Ñïðàâî÷íèê
ïî ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêå. Èçä. 6-å, Ãîñòåõèçäàò, Ì.-Ë., 1952.
2.
À.Ï.Êèñåëåâ. Ãåîìåòðèÿ.
Ó÷åáíèê äëÿ ñðåäíåé øêîëû, ÷.1 è 2.- Ì.: Ó÷ïåäãèç 1951.
3.
Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ,
Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð. Ãåîìåòðèÿ. Ó÷åáíèê äëÿ ñðåäíåé øêîëû.-Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1994.