Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Исследование кривых и поверхностей второго порядка
Международный университет природы, общества и человека
«Дубна»
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по линейной алгебре и
аналитической геометрии
студентки I курса 1033 группы
Ярмак Елены Владимировны
«Исследование
кривых и поверхностей
второго порядка»
Руководители: старший
преподаватель Маркова И. А.
ассистент
Павлов А. С.
Дубна, 2002
Оглавление.. 2
Задание 1. 3
Задание 2. 3
Цель.. 3
Задача.. 3
Исходные данные.. 4
Анализ кривой второго порядка.. 4
1.
Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра b с помощью инвариантов 4
2.
Приведение уравнения кривой при b = 0 к
каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота
координатных осей. 6
4.
Вывод уравнения осей канонической системы координат.. 8
5.
Построение кривой в канонической и общей системах координат.. 9
Анализ поверхности второго порядка.. 11
1.
Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений 11
2.
Построение поверхности в канонической системе координат.. 16
Вывод.. 17
Список использованной литературы... 18
1.Определить
зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов.
2.
Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования
параллельного переноса и поворота координатных осей.
3.
Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой
второго порядка.
4.
Написать уравнения осей канонической системы координат.
5.
Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Для данного
уравнения поверхности второго порядка:
1.
Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.
2.
Построить поверхность в канонической системе координат.
Целью курсовой
работы является закрепление и углубление полученных студентом знаний и технических
навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов.
Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования
параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы,
эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
Написать уравнения осей канонической системы координат. Построить кривую в канонической
и общей системах координат.
Исследовать форму данной поверхности методом сечений и
построить полученные сечения. Построить поверхность в канонической системе
координат.
Уравнение кривой второго порядка:
.
Уравнение поверхности второго
порядка:
.
Их инварианты и классификация.
Для данного уравнения кривой второго порядка:
(1)
Для
уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
Вычислим инварианты
кривой
.
.
.
В соответствии с классификацией кривых второго порядка:
Если I2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но
I2 = -306-11b , следовательно, если , то уравнение (1)
определяет кривую параболического типа. Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1)
определяет параболу.
Если I2 ¹ 0,
то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.
Если I2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно,
если , то данная
кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I1I3 =
(1-b)(4885b-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I2 > 0, I1I3 < 0) получим, что если , то уравнение (1)
определяет эллипс.
Если I2 < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно,
если , то
уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.
Если I2 < 0 и I3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся
прямые.
Если I2 < 0 и I3 ¹ 0,
то данная кривая – гипербола. Но I3 ¹ 0 при всех за
исключением точки .
Следовательно, если ,
то уравнение (1) определяет гиперболу. Используя полученные результаты,
построим таблицу:
Значение параметра b
|
|
|
|
|
|
Тип кривой
|
Эллипс
|
Парабола
|
Гипербола
|
Две пересекающиеся прямые
|
Гипербола
|
|
2. Приведение
уравнения кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования
параллельного переноса и поворота координатных осей
При b = 0 уравнение (1) принимает следующий вид:
(2)
Согласно таблице, это гипербола. Приведем уравнение кривой
(2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и
поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем
методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y произвольной точки М плоскости в
системе координат xOy и координаты x’, y’ в новой системе координат x’O’y’
связаны соотношениями:
.
Подставляя
эти выражения для x и y в уравнение
(1), получим:
.
Раскрывая
скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида
В
этом уравнении коэффициенты при x’ и y’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно
,
которая
определяет координаты центра исходной кривой. Следовательно, , - решение данной системы и точка О’(2,
4) – центр данной кривой. Подставим найденные значения в уравнение (2),
получим
(3)
б) Дальнейшее упрощение
уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a.
При повороте осей координат на угол a координаты x’, y’ произвольной точки М плоскости
в системе координат х’O’y’ и координаты Х, Y в новой системе
координат XO’Y связаны
соотношениями:
. (4)
Подставляя
(4) в уравнение кривой (3), получим:
.
Раскроем
скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида:
(5)
Выберем
угол a такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении X×Y равен нулю:
Это
требование эквивалентно уравнению:
(6)
Решая
уравнение (6), получим:
Tga=k,
k – угловой коэффициент оси О’Х. Он
определяется формулой:
l1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со
знаком I3.
Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид
Следовательно,
Тогда
получим, что ,
через tga найдем sina и cosa:
.
.
Подставляя
эти значения в уравнение (5), получим:
т.
е. преобразование уравнения будет иметь вид
и,
соответственно, уравнение
-
это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O’(2, 4) и полуосями и .
3. Нахождение
фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой
второго порядка
Найдем фокусы гиперболы. Коoрдинаты F1,2 равны (±с,
0), с определяется по формуле:
,
Следовательно,
точки и - фокусы данной гиперболы.
Найдем
эксцентриситет гиперболы:
.
Найдем директрисы
гиперболы:
D1: D2: .
Найдем асимптоты
гиперболы:
.
Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из
задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Оттуда же
известен угловой коэффициент оси O’X
.
Напишем уравнения осей новой системы координат XO’Y в исходной системе координат xOy. Так как система XO’Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре
кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’X
и O’Y проходят через
точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку , с заданным угловым
коэффициентом k имеет вид:
Следовательно, ось О’X в системе координат
xOy имеет уравнение или
Так как ось О’Y
перпендикулярна оси О’X, то ее угловой коэффициент
Следовательно,
ось О’Y имеет уравнение или .
На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей
системах координат:
Рис. 1. Кривая в общей и
канонической системах координат.
Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.
Для данного уравнения поверхности второго
порядка:
(7)
1) Для того чтобы исследовать поверхность методом
сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного
переноса и поворота осей координат.
Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y, z произвольной
точки М плоскости в системе координат Oxyz и
координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны
соотношениями:
.
Подставляя
эти выражения для x, y, z в уравнение (7), получим:
Раскрывая скобки и
приводя подобные члены, получим уравнение вида
(8)
В
уравнении (8) коэффициенты при x,’ y’, z’ приравняем к
нулю. Получим систему уравнений относительно ,
,
которая определяет
координаты центра исходной поверхности. Следовательно, , , - решение данной системы и точка – центр данной
поверхности. Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим
. (9)
Дальнейшее
упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a. При повороте
осей координат O’Y и
O’Zна угол a координаты y’, z’ произвольной
точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’ и
координаты Y, Z в
новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:
. (10)
Подставляя
(10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением
подобных членов, получим уравнение вида:
(11)
Выберем
угол a такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y×Z равен нулю:
.
Получим,
что , . Чтобы выбрать нужный a, решим характеристическое
уравнение для эллипса :
Отсюда вычислим
угловой коэффициент поворота осей k:
Следовательно, cosa = sina = ±.
Подставляя эти
значения в уравнение (11), получим:
,
т. е. уравнение
(12)
–
это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с
полуосями и . Т. к. a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.
2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида
плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются
системой уравнений:
Решая эту систему,
получаем:
(13)
где
h – любое вещественное число.
Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом , уменьшающимся с увеличением ½h½, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:
Эта
окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение:
,
т.
е. сечения в таких значениях h будут представлять
собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под
корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При
получаем окружность:
Изобразим полученные сечения:
Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:
Решая эту систему, получаем:
(14)
где
h – любое вещественное число.
Уравнения (14) – это уравнения эллипсов с полуосями:
уменьшающимися с
увеличением ½h½, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.
Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу
Этот эллипс будет
наибольшим, как видно из выражения полуосей. При получаем уравнение
т.
е. сечения в таких значениях h будут представлять
собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем
т.
е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При
получаем эллипс:
Изобразим полученные сечения:
Рис. 4. Сечение плоскостью
X=h.
Аналогичная картина получаются при
сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.
Проанализировав
каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом
сечений плоскостями, построим эллипсоид:
Рис. 5. Эллипсоид.
Мы научились
приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду,
применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать
поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.
1. Ильин В. А., Позняк Г.
Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1974
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П.
Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). – М.: Наука, 1993.
|