Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
Интегральные преобразования.
Операционное
исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного
переменного t, которая удовлетворяет условиям :
1)
2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное
число точек разрыва первого рода).
3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0
и S0³0 такие, что
выполняется условие : |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим функцию f(t)×e-pt
, где р – комплексное число р = ( а + i b).
(1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав это равенство получим :
(2)
Оценим левую часть равенства (2) :
А согласно свойству (3) |f(t)| < Me
S0t
В случае если a>S0 имеем :
Аналогично можно доказать, что существует и
сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и
сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р
:
(3)
Функция F(p) называется
изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t)
по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
- это оператор Лапласа.
Смысл
введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью
перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в
частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и
интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции j( t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти
функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы
определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал,
то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция
является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение
функций s0(t), sin (t), cos (t).
Определение: называется единичной
функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям,
которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу.
Найдем это изображение :
Изображение единичной функции
Рассуждая аналогичным образом получим
изображение для функции sin(t) :
интегрируя по частям получим :
т.е.
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
Изображение
функции с измененным масштабом независимого переменного.
где а – константа.
Таким образом :
и
Свойства
линейности изображения.
Теорема :
изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме
изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если , то , где
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at
f(t) (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части
равенства (4)
Что и требовалось доказать.
Таблица
основных изображений:
F(p)
|
f(t)
|
F(p)
|
f(p)
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображение
производных.
Теорема. Если , то справедливо выражение :
(1)
Доказательство :
(2)
(3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие
существования функции Лапласа имеем :
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить
дифференциальное уравнение :
Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.
Изображающее уравнение :
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится
в области оригиналов, ,
тогда также
оригинал, а его изображение .
Таким образом операции интегрирования в
области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть –
функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом,
тогда .
Толкование теоремы : операция деления на
аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах
от р до ¥ в области изображений.
Понятие
о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования
изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая
функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’)
идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному
закону.
Доказательство:
Теорема о умножении изображений. Пусть
и , тогда произведение
изображений представляется
сверткой оригиналов .
Доказательство :
Пусть изображение свертки
(1)
Интеграл (1) представляет
собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится
эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену
переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве
изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов.
Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса.
Пусть функция находится
в области оригиналов, ,
а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в
области изображений, такие, что , тогда .
В практических вычислениях важную роль играет
следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия
теоремы выполняются, тогда
(2)
Соотношение (2) применяется при решении
дифференциальных уравнений.
Обратное
преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность
получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
, где
s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного
преобразования можно при определенном виде функции F(p),
либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы
разложения.
Известная методика разложения
дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть
представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции,
тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может
быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство
оригиналов с помощью формулы : .
Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень
числа s меньше степени знаменателя n,
знаменатель имеет корни a1, a2,
…, a n соответствующий
кратности k1, k2, …, kn ,
при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
(3)
Например :
Связь
между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
(1)
На f(t) наложены условия :
1)
f(t) определена и непрерывна на всем
интервале: (-¥ ; ¥ )
2)
f(t) º 0 , t
Î (- ¥ ;0)
3)
При M, S0
>0 , для всех t > 0 выполняется
условие |f(t)|<Me S0t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать,
что f(t) принимает произвольное значение при t
< 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
(2)
Формула (2) – двустороннее преобразование
Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p
=a + in, где a и n – действительные числа.
Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.
(4)
(5)
(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье,
функция должна удовлетворять условиям :
1)
Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) ,
непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
2)
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых
функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
3)
Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется,
если |f(t)|<Me S0t
Из существования преобразования Лапласа не
следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого
класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и
ограниченной функции : f(t) = C
Аналогично преобразования Фурье не существуют
и для гармоничных функций :
т.к.
Если f(t) = 0 при
t>0 и преобразование для этой функции
существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для
преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ¹
0, t<0
(6)
Обозначим
Очевидно, что (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути
отыскания спектральной плотности :
1)
Вычисление интеграла (5)
2)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной
плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может
быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
(7)
|F(iu)| - амплитудное значение
спектральной плотности, y (u) – фазовый
угол.
В алгебраической форме : F(iu) =
a(u) +ib(u)
(8)
(9)
Для непосредственного вычисления спектральной
плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется
амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол y
(u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :
откуда , далее
Отыскание спектральной плотности для
неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций
не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
1)
Для облегчения процесса решения дифференциальных и
интегральных уравнений.
2)
Для исследования амплитудной и частотной
характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной
плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t)
существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется
изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной плотностью F1(iu)
неабсолютно интегрируемой функции называется предел от
спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.
|