Группы преобразований
Группы преобразований
1.Перемещения
Пусть X - множество всех точек прямой 
, плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ®
X f(P) = P
называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(P
, Q
).
Примеры.
1. Пусть в выбрана правая декартова
прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот
плоскости на угол j вокруг точки О задается
формулами R = R.
Здесь P=
, R = . Очевидно, поворот
является перемещением плоскости.
Отметим, что (О) =О, то есть точка
О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в
можно рассмотреть поворот на угол
j вокруг оси, заданной единичным вектором v
и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой:
R =Rcosj
+ (R´ v )sinj
+v (1-cosj )(R×
v ) . Все точки оси поворота являются неподвижными.
2. Перемещением будет и параллельный перенос
на вектор v , Очевидно, P= R+v
. Неподвижных точек перенос не имеет.
3. Пусть l некоторая прямая в .
(Зеркальное) отражение
относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной
системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(j
/2) x , то отражение задается формулой : P=
R . Аналогично, если p
некоторая плоскость в , то отражение
относительно этой плоскости будет
перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p
, проходящей через начало координат, то R
= R - 2(R× n)n .
Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в .
4. Композиция U* V (последовательное выполнение
) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U*
V)(P) = U(V(P)). Например, = *
= I
- тождественное перемещение.
2. Связь с линейными операторами.
Теорема 1
Пусть f: X ®
X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = A
и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то A
B
= C
D
.
Доказательство.
Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник A
B
D
C
является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(A
, O
) + d(O
, D
) = d(A
, D
) , мы видим, что O
лежит на отрезке A
D
и делит его пополам, поскольку d(A
, O
) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A
, D
) . Аналогично, O
лежит на C
D
и делит его пополам. Следовательно, A
B
D
C
- параллелограмм.
Из теоремы 1 следует, что если - пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ®
X определено отображение: f*: V ®
V.
Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из O
переносом на вектор f*(OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкой O
.
Теорема 2.
Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.
Доказательство.
Свойство f*(u + v) = f*(u) +f*(v) следует из определения
сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v
= AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник,
то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное
произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем:
2+ =0.
Следовательно, f*(l v) = l
f*(v) , то есть отображение f* линейно.
Следствие
Отображение евклидова пространства
V, обладающее свойством является
линейным оператором и сохраняет скалярное произведение.
Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства:
Матрица А невырождена, более того det(A) = 1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (-1) меняют ее на противоположную.
Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1.
Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице:
