Граничные условия общего вида

План.

1.     Сопряженный оператор.

2.     Сопряженная однородная задача.

3.     Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

                        (1)

где  представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если  и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:

                 (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

     (3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е.      (4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

    (5)

Оператор  называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на  и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы  и  взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

(7)

Если же , то оператор  и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что  тогда и только, когда:

Таким образом, оператор   будем  самосопряженным тогда и только тогда, когда .

При этом:

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию .

Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:

     (8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

             (9)

где

         (10)

Отметим, что:

 и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

(11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование  в вектор :

(12),

где

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить:

.

При этом (11) можно переписать как:

или

 (13),

где     (14)

Билинейная форма  в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)

и и получим:

 (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

          (16)

        (17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

         (18)

При ненулевом векторе  последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты  и  принимали любые требуемые значения, лишь бы  и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)

имеет вид:

 (20)

где  и  связаны с компонентами  вектора  соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент  и  является линейной комбинацией  и , т.е. пропорциональна .

Один из определителей: 

матриц-блоков

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

Например, положим и .

При этом матрица А примет вид:

                (21).

Из формулы (19) следует, что .

Тогда

  (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

 (22)

   (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы  и чтобы каждая из компонент  и  являлась линейной комбинацией  и . Как указывалось выше,  тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20)  принимают вид:

     (24)

Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя  на , получаем:

                 (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

                            (26)

Краевая задача при  самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

           (27)

,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

                 (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь  и  с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:

    (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.