Формации конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав.
кафедрой Шеметков Л.А.
«
» 2007 г.
Об
одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент
группы М-51 А.И. Рябченко
Научный
руководитель:
к.ф.-
м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные
факты
Основные
результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются
конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые
определения и обозначения работы [4].
Пусть –
некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; – дополнение к во
множестве всех простых чисел. Формация называется
-насыщенной, если ей принадлежит всякая
группа , удовлетворяющая условию , где . Всякая
формация считается 0-кратно -насыщенной. При формация называется
-кратно -насыщенной
[4], если , где все непустые значения -локального спутника являются
-кратно -насыщенными
формациями.
Для любых двух -кратно -насыщенных формаций и
полагают , а , где –
пересечение всех -кратно -насыщенных
формаций, содержащих . Через обозначают
решетку -кратно -насыщенных
формаций, заключенных между и .
Длину решетки обозначают и
называют -дефектом формации .
-Кратно -насыщенную
формацию называют -приводимой,
если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих
собственных -кратно -насыщенных
подформаций в решетке . В противном случае формацию называют -неприводимой.
Группа называют
критической, если – группа минимального порядка из для некоторых формаций и . Критическая группа называется -базисной,
если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная
подформация , причем .
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым
была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта
(вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3
завершают описание -кратно -насыщенных
формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют
классифицировать -приводимые -кратно
-насыщенные формации, имеющие -дефект , а в
теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые
формации -дефекта 2 (). Отметим,
что при решение данной задачи получено в работе [5].
Вспомогательные
факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6]
является
Лемма 1. Пусть – -кратно
-насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в
имеется по крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация.
Доказательство следующей леммы аналогично
доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть , и – -кратно
-насыщенные формации, причем . Тогда если и соответственно -дефекты формаций и и , то .
Лемма 3 [4]. Для всех решетка модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть , где – некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация
формации , – минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации не существует минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных формаций, отличных от .
Лемма 5. Пусть , и
– -насыщенная формации и . Тогда .
Доказательство аналогично лемме
20.3 [2].
Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.
Лемма 7 [4]. Пусть – -кратно -насыщенная
формация . Тогда спутник является -значным.
Лемма 8 [9]. Пусть – такая
полная решетка формаций, что . Пусть – -локальная формация с
каноническим -локальным спутником ,
– -локальная формация с
минимальным -локальным -значным
спутником . Тогда в том и только в том случае – -критическая формация,
когда , где – такая
монолитическая группа с монолитом , что либо , и –
-критическая формация для всех , либо и – -критическая формация.
Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть –
минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1)
; 2) для всех
; 3) , спутник является -значным и
– некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех , и, кроме того, ; 4) , где и для всех .
Лемма 10 [4]. Пусть такой
внутренний -кратно -локальный
спутник формации , что , . Тогда , где .
Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является
минимальной -кратно -насыщенной
ненильпотентной формацией, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:
1) – группа
Шмидта с , где – абелева
-группа, и – простое число;
2) –
неабелева -группа, , где , причем, если , то и – простая неабелева
группа.
Лемма 12 [6]. Пусть – монолитическая
группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число
делит порядок группы ,
то .
Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть –
произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет
фраттиниевых -главных факторов. Тогда если – монолитическая группа из , то .
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и – формации, причем –
локальна и – группа минимального порядка из . Тогда монолитична,
ее монолит совпадает с и если – -группа, то .
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется
лишь одна минимальная нормальная подгруппа и ( – некоторое простое число), то существует
точный неприводимый -модуль, где – поле из элементов.
Лемма 16 [4]. Пусть – -насыщенная формация и – ее -локальный
спутник. Если , то .
Лемма 17 [4]. Пусть и – минимальные -локальные
-значные спутники формаций и соответственно. Тогда в том и только в том случае, когда .
Лемма 18 [10]. Пусть (), где – такая
монолитическая группа с неабелевым монолитом , что и . Тогда имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную
подформацию , причем .
Основные результаты
Теорема 1. Пусть – -кратно
-насыщенная формация. Тогда в том и только в
том случае -дефект формации равен 1,
когда , где – -кратно -насыщенная
нильпотентная подформация формации , –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная
нильпотентная подформация из входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид
Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен
1. Так как не является нильпотентной
формацией, то по лемме 1 в входит некоторая
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация . По условию – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .
Достаточность. Пусть , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация
формации , –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных
формаций , и равны соответственно , и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация
формации , то . Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1.
В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то –
нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким
образом, -дефект формации равен
1.
Докажем теперь справедливость
утверждения 1) второй части теоремы. Так как – максимальная
-кратно -насыщенная
подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место
решеточный изоморфизм
Следовательно, – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в .
Докажем утверждение 2). Используя
лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных подформаций, отличных от .
Пусть теперь –
произвольная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже
доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя
лемму 3, получаем . Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2,
когда удовлетворяет одному из следующих условий: 1)
, где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные
ненильпотентные формации; 2) , где , – -неприводимая
формация -дефекта 2, , причем
если , то .
Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает
из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать,
что .
Необходимость. Пусть -дефект
формации равен 2, – такая
максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации , что -дефект формации равен 1.
По теореме 1 получаем , где –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, .
Значит,
и выполнено условие 1).
Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных
-кратно -насыщенных
ненильпотентных подформаций. Поскольку – -приводимая формация, то в найдется такая группа , что .
Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект
формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект
формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1.
Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем,
что , где . Значит, где . Но тогда
в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2.
Тогда , так как иначе , что
противоречит максимальности формации в формации . Таким образом,
Предположим, что – -неприводимая формация.
Заметим, что если и – -насыщенная формация, то является насыщенной формацией.
Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует,
что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким
образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6
всякая -кратно насыщенная формация, имеющая
нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае –
приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие.
Поэтому . Тогда получаем, что формация удовлетворяет условию 2).
Пусть теперь –
-приводимая формация. Воспользуемся индукцией
по числу разрешимых -кратно -насыщенных
подформаций однопорожденной формации .
Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект,
равный 1. Так как – -приводимая
формация, то в существует такая группа , что . Ввиду
максимальности формации в формации справедливо . По
теореме 1 и предположению единственности получаем,
что , где –
некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .
Тогда .
Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для ,
получаем, что либо формация (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость
доказана, либо формация является -приводимой формацией -дефекта
2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации в .
Поскольку –
собственная -кратно -насыщенная
подформация формации , то число разрешимых подформаций
формации меньше чем у . Ввиду
замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется
лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя
описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда
либо формация (где )
удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо ,
где – -приводимая формация -дефекта 2, –
наименьшая неединичная разрешимая подформация формации ,
такая что .
Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в
существует такая группа , что . Ввиду
максимальности формации в формации справедливо . По
теореме 1 и предположению единственности получаем,
что , где –
некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда
Но по
предположению индукции. Следовательно, формация не может
быть -приводимой формацией. Значит, , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть , где , и –
различные минимальные -кратно -насыщенные
ненильпотентные формации. Пусть , ,
и -дефекты
формаций , , и
соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не
превосходит. С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше
либо равен . Таким образом, -дефект
формации равен 2.
Аналогично рассматривается случай,
когда , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть – -кратно
-насыщенная формация .
Тогда и только тогда формации – -неприводимая формация -дефекта 2, когда ,
где – такая монолитическая группа с цоколем , что выполняется одно из следующих условий:
1) , где – -группа, , а – группа,
удовлетворяющая одному из следующих условий:
1.1) циклическая примарная группа
порядка ;
1.2) неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты;
1.3) монолитическая группа с цоколем и – -группа;
2) –
неабелева группа, , а группа удовлетворяет
одному из следующих условий:
2.1) -группа,
где ;
2.2) элементарная абелева -группа, ;
2.3) подпрямое произведение групп
изоморфных , где – такая
монолитическая группа с цоколем , что – неабелева группа, ;
3) – -группа, формация имеет -дефект 1, – -базисная группа, где , , а – такая монолитическая группа с цоколем , что выполнено одно из следующих условий:
3.1) – группа
Шмидта с , где – абелева
-группа, и – простое число,;
3.2) –
неабелева группа, причем ;
3.3) – -группа.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
– -неприводимая формация -дефекта 2, –
максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации с каноническим спутником . Заметим, что ввиду леммы 7 спутник является -кратно -локальным. Тогда является
минимальной -кратно -насыщенной
не -формацией. Пусть и – минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. В силу
замечания 2 [4] имеем , для всех .
Применяя лемму 8, получим,
что , где – такая
монолитическая группа с цоколем , что либо (, и –
-критическая формация для всех , либо и – -критическая формация. По
теореме 1 , где – минимальная
-кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации , .
Предположим, что . Тогда найдется простое число . Пусть – группа
порядка . Тогда . Так как
– максимальная -кратно -насыщенная подформация формации и , то . Но формация является -неприводимой по условию теоремы.
Противоречие. Следовательно, .
Пусть и – минимальные -кратно -локальные
спутники формаций и соответственно.
По лемме 9 формации и имеют
такие внутренние -кратно -локальные
спутники и , принимающие
соответственно значения , при , , при , , при , и , при , , при , , при . Ввиду леммы 10 справедливо равенство .
В силу леммы 11 , где – такая
монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и
выполняется одно из следующих условий:
(1) –группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;
(2) – неабелева -группа , где .
Заметим, что если , то любая -насыщенная
подформация из является насыщенной.
Следовательно, любая -кратно -насыщенная
подформация формации является -кратно
насыщенной. По лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при формация не может
быть -неприводимой формацией, что противоречит
условию. Таким образом, .
Допустим, что – неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем . Значит,
Пусть для формации выполнено условие (1). Предположим, что . Так как , то
имеем . Тогда –
минимальная -кратно -насыщенная
не -формация. Значит, ,
и -дефект формации равен 1 по лемме 11. Противоречие.
Поэтому . Используя лемму 9, имеем
.
Следовательно, .
Покажем, что . Действительно, если ,
то найдется такое , что .
Поскольку , то . Тогда . Так как делит
порядок , то по лемме 12 имеем . Тогда –
минимальная -кратно -насыщенная
не -формация. Поскольку и
, то . Так как
при этом и , то . Но .
Противоречие. Поэтому .
По лемме 9 имеем Следовательно, и является минимальной -кратно
-насыщенной не -формацией.
Ясно также, что , поскольку в противном случае -дефект формации равен 1 в
силу леммы 11.
Если , то . Значит,
является минимальной -кратно
-насыщенной не -формацией.
Поэтому . Значит, , и
формация удовлетворяет условию 2.1) теоремы.
Если , то . Тогда . Так как , то , т.е. является
элементарной абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Покажем, что . Предположим, что существует . Тогда . Значит,
– минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Последнее невозможно, так как . Поэтому . Но .
Следовательно, .
Ввиду леммы 12, . Так как , то – минимальная не -формация.
Значит, . Но, как нетрудно показать, . Если , то по лемме
11 -дефект формации равен 1.
Противоречие. Следовательно, и .
Но тогда Так как при этом группа является монолитической группой с неабелевым
цоколем , то применяя лемму 13 получим, что – подпрямое произведение групп изоморфных
группе . Таким образом, группа удовлетворяет условию 2.3) теоремы.
Пусть теперь – такая формация, что – монолитическая группа с цоколем , . Так как , то . Но тогда
– минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Значит, и по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1.
Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.
Пусть – абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем . Пусть формация удовлетворяет
условию (1).
Предположим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является
монолитической группой с цоколем . Ясно, что и . Применяя лемму 15,
получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду
леммы 16 группа . Так как ,
то . Поскольку и
формация разрешима, то – абелева
-группа для некоторого простого числа . Но . Если , то группа нильпотентна.
Поскольку , то – группа
простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем,
что -дефект формации равен 1.
Противоречие. Поэтому . Так как при этом , то , что невозможно.
Поэтому .
Но тогда и – минимальная -кратно -насыщенная
не -формация.
Рассмотрим группу . Тогда является
монолитической группой с цоколем . Поскольку и формация разрешима,
то – абелева -группа
для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует
точный неприводимый -модуль .
Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но . Значит,
. Но – монолитическая
группа. Значит, – -группа. Если
, то , что невозможно.
Значит, . Если , то по лемме
11 -дефект формации равен 1.
Противоречие. Следовательно, . Поскольку , то . Таким
образом, и . Тогда – минимальная не -формация.
Поскольку группа нильпотентна, то любая собственная
подгруппа из принадлежит . Таким
образом, – минимальная не -группа. Так
как при этом – -группа, то либо циклическая примарная группа порядка , либо неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты . Но тогда группа удовлетворяет
условию 1.1) или 1.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Поскольку , то . Так как
при этом , то . Если , то , что
невозможно. Значит, . Но .
Следовательно, . Противоречие. Таким образом, .
Тогда и – минимальная -кратно -насыщенная
не -формация. Выберем в группу
минимального порядка. Тогда – монолитическая группа с цоколем и . Применяя лемму 15,
получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду
леммы 16 группа . Так как ,
то . Предположим, что –
неабелев цоколь группы . Ввиду того, что и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем . Поскольку и , то группа изоморфна
группе . Но тогда . Однако . Поэтому и -дефект формации равен 1.
Противоречие. Следовательно, – абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что . Пусть – группа порядка . Тогда . Пусть – точный
неприводимый -модуль и . Применяя
лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1.
Поскольку и , то мы получаем
противоречие с леммой 5. Значит, . Поскольку и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем Так как и , то группа изоморфна
группе . Но – неабелева
-группа. Противоречие. Следовательно, данный
случай невозможен.
Пусть формация такая, что . Так как
, то . Но тогда
– минимальная -кратно -насыщенная не -формация.
Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является
монолитической группой с цоколем . Понятно, что и . Применяя лемму 15
получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду
леммы 16 группа . Так как ,
то .
Пусть – абелева -группа
для некоторого простого числа . Если , то . Противоречие.
Значит, . Кроме того, понятно, что . Так как в противном случае и по лемме 11 формация имеет -дефект 1,
что невозможно. Поскольку и , то . Тогда
по лемме 13 получим, что . Так как и , то группа изоморфна группе .
Пусть – неабелев цоколь группы . Тогда так как и , то .
Применяя теперь лемму 13, заключаем, что . Так как
и получаем, ввиду
монолитичности , что группы и изоморфны.
Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа простого порядка , такая,
что . Пусть – точный
неприводимый -модуль и . Применяя
лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1.
Поскольку и , то мы получаем
противоречие с леммой 5. Значит, . Таким образом, группа удовлетворяет условию 1.3) теоремы.
Пусть теперь – -группа и пусть формация удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда или, соответственно,.
Если , то или . Но – -группа. Значит, .
Противоречие. Поэтому . Но тогда –
единственная максимальная подформация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1.
Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект
формации равен 1. Значит, удовлетворяет
условию 3.1) или 3.2) теоремы.
Пусть теперь для формации
выполняется условие .
Тогда по лемме 8 – минимальная -кратно -насыщенная
не -формация. Снова применяя лемму 8, получим,
что – -критическая формация, …, – минимальная не -формация
и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1.
Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект
формации равен 1. Таким образом, группа удовлетворяет условию 3.3) теоремы.
Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1) теоремы и – циклическая примарная группа порядка , . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . По лемме 14 имеем .
Так как , то . Заметим,
что является единственной максимальной
подформацией формации , где – группа
порядка .
Построим -кратно -локальный
спутник , принимающий следующие значения , при , , при . Рассмотрим
-кратно -насыщенную
формацию . Пусть –
минимальный -кратно -локальный
спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная
подформация формации . И пусть –
минимальный -кратно -локальный
спутник формации . Если , то так
как , получаем .
Следовательно, . Противоречие. Значит, . Тогда, так как –
единственная максимальная подформация , то и для , т.е. . По лемме
17 получаем, что . Таким образом, – единственная максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.
Поскольку , то ввиду леммы 15 существует точный
неприводимый -модуль , где – поле из элементов.
Пусть . Тогда, так как , то,
ввиду леммы 16, . Если предположить, что , то по лемме 17 получаем , где –
минимальный -кратно -насыщенный
спутник формации . Но тогда .
Противоречие. Значит, , т.е. формация порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный
-дефект 1. Но тогда -дефект
формации равен 2.
Случаи, когда – неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты , и –
монолитическая группа с цоколем , где – -группа, рассматриваются
аналогично.
Пусть для формации выполнено условие 2) теоремы. Построим -значный -локальный
спутник , принимающий следующие значения: , при , , при . Ясно,
что .
Рассмотрим -кратно -насыщенную
формацию , порожденную спутником . Пусть –
минимальный -кратно -локальный
спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная
подформация формации , – ее минимальный
-значный -локальный
спутник. Тогда для любого .
Кроме того, как нетрудно показать, имеет место включение
Поэтому . Таким образом, –
единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.
В силу леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен
1. Но тогда -дефект -неприводимой
формации равен 2.
Пусть для формации выполнено условие 3). Построим -локальный спутник –
такой, что и для любого . Так как группа является -базисной, то всякая подформация из содержится в . Следовательно,
формация по лемме 8 является -критической.
Пусть теперь – такой -значный -локальный спутник, что и для любого . Снова применяя лемму 8, получаем, что формация
является -критической
и т.д. Построим -значный -локальный
спутник такой, что и для любого . Опять
применяя лемму 8, получим, что формация является -критической. Заметим также, что ввиду леммы
11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен
1. Следовательно, -дефект -неприводимой
формации равен 2. Теорема доказана.
Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных
формаций -дефекта 2, поставленной А.Н. Скибой и
Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные формации и
классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147,
проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение -приводимых формаций -дефекта
2; получено описание конечных групп,
порождающих -неприводимые формации -дефекта 2.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Шеметков Л.А.
Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
2.
Шеметков Л.А.,
Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
3.
Скиба А.Н.
Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
4.
Скиба А.Н.,
Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы
Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. – С. 114–147.
5.
Частично
локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР
(заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени
Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель,
2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
6.
Шаблина И.П.
Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп: Дис. …
канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
7.
Рябченко А. И О
частично насыщенных формациях с -дефектом 1 // Изв. НАН
Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.
8.
Сафонов В.Г. О
минимальных кратно локальных не -формациях конечных групп
// Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8. – С. 109–138.
9.
Селькин В.М.,
Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы алгебры. –
Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.
10.
Рябченко А. И. О
минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета.
Сер. С. – 2008. – №5. – C. 41–46.
11.
Рябченко А. И. К
теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008.
– №6(51). Ч.2.– С. 153–160.