Элементарные конфортные отображения

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)

Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:

;

;

;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,

4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . ,

5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , ,

Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , ,

, ,

, , ,

, , ,

Найти суммы:

1)

2) sinx+sin2x+...+sinnx

Решение. Пусть: , а

.

Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:

;

Преобразуя, получим:

,

3. Доказать, что: 1) 2)

3) 4)

Доказательство:

1) По определению,

2)

3) ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;

Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:

, , ,

Напомним, что

2)

, ,

3)

, ,

, .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ;

Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

; ; ; ;

;

Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;

Решение. По определению, ,

1), , ,

4), , ,

5), , ,

6), , ,

Найти все значения следующих степеней:

1) ; 2) ; 3) ; 4);

Решение. Выражение для любых комплексных a и определяются формулой

1)

2)

3)

4) .

8. Доказать следующие равенства:

1) ;

2) ;

3)

Доказательство:

1) , если , или , откуда , или .

Решив это уравнение, получим , т.е. и

,

3) , если , откуда , или

.

Отсюда , следовательно,