Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.

Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).

Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:

1) для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Перечень условных обозначений

- принадлежность элемента множеству;

- знак включения множеств;

- знак строгого включения;

и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

Пусть - группа. Тогда:

- порядок группы ;

- порядок элемента группы ;

- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

- является нормальной подгруппой группы ;

- является субнормальной подгруппой группы ;

- является минимальной нормальной подгруппой группы ;

- факторгруппа группы по подгруппе ;

- индекс подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

Если и - подгруппы группы , то:

- и изоморфны.

Пусть - группа, и , тогда:

- правый смежный класс,

- левый смежный класс;

- совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

- группа порядка ;

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная элементами и .

- подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;

- совокупность всех - подгрупп группы ;

- тривиальный подгрупповой - функтор;

- единичный подгрупповой - функтор;

- ограничение подгруппового - функтора на класс групп ;

- пересечение системы подгрупповых - функторов ;

- решётка всех подгрупповых - функторов;

- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;

Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:

- класс всех групп;

- класс всех абелевых групп;

1. Общие определения и обозначения

Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .

Если для всех , то операция называется ассоциативной.

Если для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент называется единичным, если для всех .

Обратным к элементу называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е. для любых .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .

Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .

Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через .

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Условимся через S обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S= S - совокупность всех подгрупп группы , а S.

Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Если - непустое подмножество группы и , то

Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то

Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Пусть и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .

Если - подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .

Ядром гомоморфизма называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .

Гомоморфизм называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.

Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

2. Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;

(3) отображение является биекцией множества S на множество S;

(4) если S, то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:

(1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

(5) тогда и только тогда где когда .

Лемма 1.3 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если подмножества и сопряжены в , то и сопряжены в .

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то .

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение

является изоморфизмом групп и .

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем , то изоморфна .

Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда

Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .

Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .

Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и

Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в .

Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.

Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью.

Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда

Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда

Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и

Подгрупповой -функтор называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп и имеет место ;

2) тривиальным, если для любой группы имеет место

;

3) единичным, если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .

Если и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе .

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы ,

Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .

Пример 2. Пусть - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что - подгрупповой функтор.

Действительно, пусть и . Предположим, что

где - натуральное число. Тогда - натуральное число и

Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если

то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .

Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .

Пример 9. Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1) ;

2) и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , .

Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.

Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа.

Покажем, что - максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий:

1) ;

2) - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то

Итак, - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп называется формацией, если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .

Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то

Откуда получаем . Из и следует равенство .

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы

Покажем, что - подгрупповой - функтор.

Действительно, пусть и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем

Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Пример 11. Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

4. Решетки подгрупповых функторов

Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть - некоторый класс групп. Будем говорить, что - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что - некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через, множество всех подгрупповых -функторов, а через - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве введем частичный порядок , полагая, что имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы справедливо .

Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов определим их пересечение для любой группы . Понятно, что - нижняя грань для в . Мы видим, что - полная решетка с нулем и единицей . Понятно, что функтор , где для всех , является верхней гранью для в .

Заметим, что если - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно, - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если содержится в классе конечных групп, то решетка является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа класс состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка является цепью тогда и только тогда, когда все группы из являются -группами. Покажем, что в общем случае не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если - класс всех конечных групп и ,, где и - различные простые числа, то функтор не является замкнутым. Пусть , где - группа порядка , a - группа порядка . Понятно, что и . Таким образом, если бы функтор был бы замкнутым, то мы бы имели Но, как нетрудно заметить, во множество входят лишь такие подгруппы из для которых имеет место одно из двух: или . Это означает, что . Следовательно, функтор не является замкнутым.

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп решетки и можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и .

Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .

Доказательство. Если - канонический эпиморфизм на , то

Так как мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемен