Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару
Реферат
Эквивалентность пяти
классов функций элементарных по Кальмару
студента группы ТК
четвертого курса
Польщи М.В.
Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид
Петрович
Определение. Функция называется элементарной по
Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и
мультиплицирования.
Определим пять классов функций, элементарных по
Кальмару.
L1 Класс
функций, получаемый из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и
мультиплицирования.
L2 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, 2x
,S, а также конечного применения операции суммирования.
L3 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, 2x
,S, а также конечного применения операции ограниченной
минимизации.
L4 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x+y 2x
,S, а также конечного применения операции ограниченной
рекурсии.
L5 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, S, а
также конечного применения операции мультиплицирования.
Доказательство будем проводить по следующей схеме:
1. L1ÊL2ÊL3ÊL4ÊL1
2. L1ÊL5
3. L5ÊL3
Докажем, что L1ÊL2 (для этого выразим 2x через
функции L1 )
Докажем, что L2ÊL3 (для этого выразим x*y и операцию
ограниченной минимизации через функции L2 )
Пусть
тогда
Докажем, что L3ÊL4 (для этого выразим x+y и операцию
ограниченной рекурсии через функции L3 )
Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании
следующего свойства функции Геделя.
Пусть
тогда
Отношение, примененное в операция конечной
минимизации, является элементарным по Кальмару.
Докажем, что L4ÊL1 (для этого выразим операции суммирования и
мультиплицирования через функции L4)
Выразим м3ультиплицирование через ограниченную
рекурсию.
Где y(x,y)-к-ступенчатая
функция.
Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.
Докажем, что L1ÊL5 (для этого выразим x*y через
функции L5 )
Докажем, что L5ÊL3 (для этого выразим 2x
и операцию ограниченной минимизации
выразим через функции L5 )
Пусть
тогда
Эквивалентность классов доказана.